Hướng dẫn tính nguyên hàm, tích phân

 NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) 
Do đó: = + (q - ) 
 = + C + (q - ) 
Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a = 
Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: 
 I = = = = + C 
 Vídụ 7: I= = - 8 = - 8 
+ Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số 
 a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) 
Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : 
 = + + Do đó : 
I4 = = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D 
 b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)
2
 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) 
Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + 
Do đó : I4 = = + = + .dx 
 = A + + 
 = A.ln + .ln + (Bx0-C). + D 
 c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x
2
+px + q) , trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệm 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) 
Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : 
 = + 
Ta có : = + = + + 
Do đó : I4 = = A + . + . 
 = A.ln + .ln + (C - ) + D 
Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm) 
 d-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x – x0)
3
 .Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B, 
C sao cho : = + + . Do đó ta có : 
 = + + = - + C.ln + D 
-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C 
Trƣờng hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = 
Do đó: I4 = = + .Với p1= p- ; q1= q - 
Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên 
Bài tập: Tính nguyên hàm 
1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
2. I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) 
 4. I = ; I = ; I = I = ; 
 5. I = ; I = ; I = I = 
6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 b/ I = 
2
1
3 xx
dx
; Chú ý: 
 c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x
2
+2x+3) 
 e/ I = = + + 
 g/ I= Chú ý: = (x-2)(x
2
+4x+4) 
7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1) 
8. I = 
Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + 
9. I = = .dx ( , đặt x = tant ) 
10.I = (Hd:I = +3 - 2 ) 
11. I = I = I = I = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) 
12.I = I = I = = - 3 + 
13. I = (Hd : I= 3 - + 5 ) 
14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 ) 
15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 ) 
16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 ) 
17. (Hd : I = -4 + - ) 
II.Nguyên hàm các hàm số Lƣợng giác 
1.Nguyên hàm hàm hợp 
 1/ I = = = sin(ax+b) +C 
 2/ I = = = - cos(ax+b) +C 
 3/ I = = = tan(ax+b) + C 
 4/ I = = = cot(ax+b) + C 
2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosmx.sinnx .Trong đó m,n là các số nguyên dƣơng 
 1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ 
(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được) 
Ví dụ 1 : I = . 
 - Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C 
 - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về nguyên hàm 
hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2: 
 I = = I = = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) 
 = = - cos3x - cosx + C 
Ví dụ 2 : I = 
 - Đặt sinx = t Ta có I = = I = = = 
Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t) 
 -Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I = 
 = = t
2
 - ln +C 
Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t) 
 2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn) 
*Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đƣa 
về nguyên hàm hàm hợp. 
Ví dụ 5: I = = I = = .2cos2xdx 
 = dx = dx 
 = - 
 = x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C 
 = x + sin2x - sin4x - sin6x + C 
*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = . Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn ) 
Ví dụ 6 : I = 
 -Ta có : I = = : I = = : I = - 
 = - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t) 
Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin2x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t) 
 -Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot
3
x + C 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) 
 (Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi) 
Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t) 
 -Ta có : I = = I = = 
 = - = + 
 = tanx + sin2x - x + C 
3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx 
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t 
*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t 
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t 
-Có những bài dùng phương pháp liên kết. 
1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t 
Ví dụ 9 : I = = = = 
 = - =  (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) 
2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t 
Ví dụ 10 : I = = -2 = -2 
 = -2 = 
3/Nếu thay cosx bởi (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t 
Ví dụ11: I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = ) 
-Ta có I = = 
 = = (Dạng .Với u = 1 + tanx) 
4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan2 ).dx 
Nên dx = , và có sinx = , cosx = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) 
Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = . 
Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = . 
Do đó : 
 I = = I = = = - + C 
5/Tính nguyên hàm : I = 
 -Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức .Ta viết : 
I = = . dx 
 = + = + .dx 
 = ln + .dx . 
Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn 
dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan 
Ví dụ 13 : I = J = k = 
6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : 
 -Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp 
Ví dụ 14 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C 
 Ví dụ 15 : Tính I = 
 = 
 = = 
 = - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) 
****************************************************************************** 
III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) 
Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng 
giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây 
1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : 
 - Thông thường: Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t 
Ví dụ 1 : I = .dx 
 - Đặt = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t2 – 1).t 
Do đó : I = .dx = I = = 2 
Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1) 
 Do đó : I = – = = - + C 
Ví dụ 2 : I = 
 -Đặt = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và = . 
 -Do đó : I = 2. = 2. = (Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ) 
Ví dụ 3 : I = . Đặt = t 
2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n mà biểu 
thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n  
Ví dụ 4 : 
I = . Đặt = t , ta có x + 1 = t6 nên dx = 6 t5dt, = t3, = t2 
Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) 
3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và 
 với a,b,c R , a 0: 
-Đổi biến số đƣa về nguyên hàm của hàm số Lƣợng giác (Đã nói trên) 
-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11) 
Hai trường hợp : 
1/Nếu 0 : Thì = 
2/Nếu 0 , vì 0 căn thức mới có nghĩa ) 
 Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau : 
 *1 Hàm số chứa u và , đặt u = .tant 
 *2 Hàm số chứa u và , đặt u = 
 *3 Hàm số chứa u và , đặt u = .sint 
Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên. 
Một số trƣờng hợp riêng : 
1/ Tính I1 = .Đặt t = x + + (không quan tâm tới dấu dương ,âm ) 
 -Ta sẽ có : I = = 
Ví dụ 5 : I = . Đặt t = x + 1 + Ta có I = = 
Cách 2 : Tính : I = . 
Đặt x +1 = 2.tant .Ta có : dx = 2.(1 + tan2t).dt và = .Do đó 
 I = = (1+ tan2t).dx = 
2/Tính I2 = = 
 = A + (B - ) = A +(B - )I1 
 (Trong đó: I1 = .Đặt t = x + + nói ở trên ) 
Ví dụ 6 : I = = .dx = - = 
 = - = .ln - 
 (Tính Xem ví dụ 5 ngay phía trên) 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN 
HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (12) 
3/Tính I3 = . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên . 
Ví dụ 7 : Tính : I = 
 Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . = 
Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?) 
 (Tính Ví dụ 5 ở phía trên) 
4/ Tính I4 = Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n. 
Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x). + .I1 
 Giả sử : I4 = = Qn-1(x). + . (*) 
Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ . 
Lấy vi ph