Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp - Đại học môn Toán - Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit

Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit.
“Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2009, thì đối với dạng bài tập về PT, BPT mũ và logarit sẽ không xét các PT, BPT chứa tham số; cũng như các PT, BPT chứa ẩn đồng thời ở cơ số và số mũ, hay chứa ẩn đồng thời ở cơ số và biểu thức dưới dấu logarit.”
A. Kiến thức cơ bản:
1. Hàm số y = logax xác định khi x > 0
+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến.
+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến.
2. Một số tính chất đối với hàm số logarit.
+) , 
+) 
+) , 
+) 
B. Một số phương pháp cơ bản giải PT – BPT logarit.
1. Phương pháp 1: 
Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.
Kết quả:
1. f(x) = g(x)
2. f(x) = ab
3. , xẩy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt f(x) > g(x).
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt f(x) < g(x).
4. , xẩy ra 2 khả năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt f(x) > ab.
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt f(x) < ab.
Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) 0. 
Một số ví dụ minh họa
1). log2(x2 – 4x – 7) = 2
2). 
3). 
4). 
4). log3(x + 2) + log3(x - 2) = 5
6). 
7). 
8). 
9). 
10). 
2. Phương pháp 2: Dùng ẩn phụ
Với các PT, BPT mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x). Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT có nghĩa.
Một số ví dụ minh họa
1). 
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
7). 
8). 
3. Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa
Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)
Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau 
Một số ví dụ minh họa
1). 
2). 
3). 
4). log2x = log5(x + 3)
4. Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá (hàm số).
Cơ sở của phương pháp như sau:
Ta xét pt: f(x) = g(x) (1)
+ Nếu trên điều kiện xác định của pt ta có : f(x) m và g(x) m thì khi đó pt (1) xẩy ra khi và chỉ khi giải hệ thu được nghiệm của PT
+ Trong một số trường hợp ta có thể tìm được giá trị x = a sao cho f(a) = g(a), còn với mọi x a thì f(a) g(a) tức là PT chỉ có duy nhất nghiệm x = a.
Một số ví dụ minh họa
1). log2x = 3 - x
2). log3(x2 + x + 1) – log3x = 2x - x2 
3). log(x2 – x – 12) + x = log(x + 3) + 5
4). 
- Hết -