Hướng dẫn làm bài tập - Chủ đề tự chọn 2: Nhị thức Newtơn

Chuû ñeà Tự chọn 2 : NHÒ THÖÙC NEWTÔN 
A/ BAØI TAÄP MAÃU: 
1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: 
 Giaûi:
Công thức khai triển của biểu thức là:
Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 
2. Tính tổng: 
Giaûi:
 (1)
	Û (2) (vì )
	Þ 
3. Khai triển và rút gọn biểu thức thu được đa thức . Tính hệ số biết rằng là số nguyên dương thoả mãn
.
 Giaûi: 
Ta cã 
§ã lµ 
Suy ra lµ hÖ sè cña trong biÓu thøc 
4. Tính tổng .
Giaûi:
	Xét đa thức: 
*	Ta có: 
*	Mặt khác: 
Từ (a) và (b) suy ra: 
5. Chöùngminh thõa mãn ta luôn có: 
 . 
Giaûi:
Ta có: (5)
	= ( điều phải chứng minh)
6. Giải phương trình ( là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaûi:
ĐK : 
Ta có 
7. Tính giá trị biểu thức: .
Giaûi:
Ta có: (1)
 (2)
Lấy (1)+(2) ta được:
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
Thay x=1 vào 
=>
8. Tìm hệ số x3 trong khai triển biết n thoả mãn:
Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giaûi:
Khai triển: hệ số x3: =101376
9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña 
biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d­¬ng tháa m·n: 
( lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö)
Giaûi:
suy ra I (1) 
MÆt kh¸c (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã 
Theo bµi ra th× 
Ta cã khai triÓn
Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 
VËy hÖ sè cÇn t×m lµ 
10. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .
Điều kiện n ³ 4
Giaûi:
Ta có: 
Hệ số của số hạng chứa x8 là 
Ta có: 
Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7
Nên hệ số của x8 là 	
B- BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN : 
(CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của , (x>0).
 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5+x2(1+3x)10.
(ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử)
 (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của với x>0.
 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n.
 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho .
 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn0-3n-1Cn1+3n-2Cn2-3n-3Cn3+  +(-1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)..
(ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+  +anxn, trong đó nÎN* và các hệ số a0, a1,an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an.
(ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử).
(ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
(ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8.
(ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
 18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển ña thức: biết rằng n là số nguyên dương thoaû maõn: ( laø toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû )
19. (ĐH A–DB1-2006) Aùp duïng coâng thöùc Newtôn (x2+x)100. Chöùng minh raèng:
 (ĐH-D-2004)	 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của với x > 0.
(ĐH-A-2004)	Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức: 
 (ĐH-A-2003)	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của: , biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
(ĐH-D-2003)	Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của Tìm n để 
(ĐH-A-2006)	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của: , biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
 25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .
 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có
 .
27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng (n là số nguyên dương)
28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn . Tính tổng 
29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton
30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương 
31. (ĐH-A-2008)	Cho khai triển: Trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức: . Tìm số lớn nhất trong các số: 
32. (ĐH-A-2002)	Cho khai triển nhị thức: ( n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
33. (ĐH-A-2005)	Tìm số nguyên dương n sao cho: 
34. (ĐH-B-2003)	Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 
35. (ĐH-D-2002)	Tìm số nguyên dương n sao cho: 
36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: biết rằng: 	( n là số nguyên dương ).