Hình không gian 11 – Quan hệ vuông góc

 a d b
a b mp P d mp P
a b
 
   


3) TÍNH CHẤT: 
 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. 
(Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn 
thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó). 
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông 
góc với một mặt phẳng cho trước. 
4) LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 
 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với 
đường thẳng kia. 
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau. 
ba
P
 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc mặt 
phẳng kia. 
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. 
d
Q
P
 Cho một đường thẳng song song một mặt phẳng. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thì cũng 
vuông góc với đường thẳng kia. 
 Cho một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng. Nếu một đường thẳng vuông góc với cả hai thì 
đường thẳng và mặt phẳng đó song song nhau. 
d
a
P
b
P
a
d
d
a
P
P
A
B
O I
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 8 
5) PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC & ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: 
 Cho đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P). Phép chiếu song 
song theo phương của d lên mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu 
vuông góc lên mặt phẳng (P). 
 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông 
góc với (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện 
cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a 
của a trên (P). ( ), ( ),a P b P b a b a     
b b
a' a'
a
a
PP
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên phặt phẳng. 
φ
b
a'
a
P
6) CÁC DẠNG TOÁN: 
 1Vd Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B và SA  (ABC). 
a) Chứng minh BC  (SAB). 
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh AH  SC. 
Giải: 
a) SA  (ABC)  SABC; ABC vuông tại B  ABBC  BC  (SAB). 
b) Ta có AH(SAB), BC  (SAB)  BC  AH mà AH  SB  AH  
(SBC)  AH  SC. 
 2Vd Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a 2 và SA  (ABCD). Gọi 
M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng: 
a) (AMN). b) (ABCD). 
Giải: 
a) BC  AB, BC  SA  BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB  
AM  (SBC)  AM  SC (1). 
Ta có CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  CD  AN mà AN  
SD  AN  (SCD)  AN  SC (2). 
Từ (1) và (2)  SC  (AMN) hay góc giữa chúng bằng 090 
b) SAC vuông cân tại A vì SA = AC = a 2 . Mặt khác AC là hình 
chiếu của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là 
 045SCA  . 
A C
B
S
H
A
D
B C
S
M
N
a'
a
d
P B'A'
A
B
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 9 
BÀI TẬP. 
1) Cho tứ diện ABCD có hai mặt là hai tam giác cân ABC và BCD chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung 
điểm cạnh BC. Gọi AH là đường cao ADI. Chứng minh: 
a) BC  (ADI); b) AH  (BCD). 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có ABC và BCD cân, có I trung điểm nên AI  BC và DI  BC  
BC  (ADI). 
b) Ta có AH  (ADI) mà BC  (ADI)  BC  AH mặt khác AH  DI  
AH  (BCD). 
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao của AC và 
BD. Chứng minh: 
a) SO  (ABCD); b) AC  (SBD) và BD  (SAC). 
 Hướng dẫn: 
a) SAC, SBD cân tại S có O là trung điểm  SO  AC, SO  BD 
 SO  (ABCD). 
b) Ta có AC  SO, AC  BD (đường chéo hình thoi)  AC  (SBD). 
Tương tự  BD  (SAC). 
3) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ 
O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 
a) H là trực tâm ABC; b) 2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
 Hướng dẫn: 
a) OA  OB, OA  OC  OA  (OBC)  OA  BC. 
Ta có OH  (ABC)  OH  BC;  BC  (OAH)  BC  AH. 
Tương tự ta chứng minh được AC  BH  H là trực tâm ABC. 
b) AOA vuông tại O có OH là đường cao  2 2 2
1 1 1
OH OA OA
 

Vì BOC vuông tại O có OA là đường cao  2 2 2
1 1 1
OA OB OC
 

Vậy 2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA  (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt 
lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI SK
SB SD
 . Chứng minh: 
a) BD vuông góc với SC; b) IK vuông góc với (SAC). 
 Hướng dẫn: 
a) SBD có SI SK
SB SD
  IK//BD. 
Ta có SA  (ABCD)  SA  BD; BD  AC (hình thoi) 
 BD  (SAC)  BD  SC. 
b) IK//BD  IK  (SAC). 
I
B D
C
A
H
O
D C
A B
S
B C
A D
S
I
K
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 10 
5) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt (ABC) và ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ 
AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN
SB SC
 . Chứng minh rằng : 
a) BC  (SAB), AM  (SBC); b) SB  AN. 
 Hướng dẫn: 
a) SBC có SM SN
SB SC
  MN//BC. 
Ta có SA  (ABC)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB). 
Ta có MN  (SAB), BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB 
  AM  (SBC); 
b) Ta có BC  (SAB)  BC  SB. 
MN//BC  MN  SB. 
Với SB  AM, SB  MN  SB  (AMN)  SB  AN. 
6) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng (ABC) và ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là 
trực tâm của ABC và SBC. Chứng minh rằng: 
a) AH, SK, BC đồng quy; b) SC  mp(BHK); c) HK  mp(SBC). 
 Hướng dẫn: 
a) AH  BC tại I mà SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAI)  BC  
SI  SI là đường cao SBC  K  SI  AH, SK, BC đồng quy tại I. 
b) BH  AC (vì H là trực tâm ABC), BH  SA (vì SA  (ABC))  
BH  (SAC)  BH  SC, BK  SC (vì K là trực tâm SBC) 
 SC  mp(BHK) 
c) SC  mp(BHK)  SC  HK, BC  (SAI) 
 BC  HK  HK  mp(SBC) 
7) Cho hình chóp S.ABC có đáy là  đều cạnh bằng a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm ABC. 
a) Chứng minh rằng SG  (ABC), tính SG. 
b) Xét mặt phẳng () đi qua A và vuông góc SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để () cắt SC tại 1C 
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (). 
 Hướng dẫn: 
a) Gọi M trung điểm AB  SM  AB  SG là giao tuyến của các mặt 
phẳng trung trực của cạnh AB, BC, AC của  đều ABC  SG  (ABC). 
2 2 2 2 23( )
3
aSG SA AG b     SG = 
2
2
3
ab  
b) Để 1C nằm giữa S và C và A 1C  SC khi góc ASC là góc nhọn  
2 2 2 2 22 hay AC SA SC a b   . 
SA 1C = SB 1C (c, g, c) mà A 1C  SC  B 1C  SC  SC  (AB 1C ) 
 thiết diện là AB 1C cân tại 1C . 
1C M là trung tuyến đồng thời là đường cao 1C M  SC. Gọi góc SCM là góc   sin = 
2
2
3
abSG
SC b

  1C M = CM.sin = 
2
2
2 2
3
32 3
2
a ab a b a
b b


  
1
2 2 23
4ABC
a b aS
b

 
A C
B
S
M
N
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 11 
§4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. 
1) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: 
 Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng 
đó. 
 Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai 
mặt phẳng đó bằng 00 . 
 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: Trên giao tuyến của 
hai mặt phẳng (P), (Q), ta chọn điểm I. Hai đường thẳng a, b 
nằm trên hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với giao tuyến 
tại I thì góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) chính là góc giữa 
hai đường thẳng a, b. 
 Diện tích hình chiếu của một đa giác: Hình H có diện tích S nằm trong mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông 
góc của H trên mặt phẳng (Q) là H có diện tích S thì .cosS S   với  là góc (P) và (Q). 
2) HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC: 
 Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nhau nếu góc giữa hai măt phẳng đó là góc vuông. 
 Các định lý: 
 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông 
góc với mặt phẳng kia. 
( )
( ) ( )
( )
a Q
Q P
a P

  

Hq: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào 
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a P
a Q a d

    
  
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông 
góc với mặt phẳng thứ ba. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q d
P R d R
Q R
 
   
 
3) LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG: 
B C
A
E
D
D'
E'
A'
C'B'
F G
I H
H'I'
G'F' J' K'
M' L'
LM
KJ 
 Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật 
vuông góc với mặt đáy. 
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. 
Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều  
 Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ 
nhật. 
 Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là 
hình lập phương. 
b
a
Q
P
φ
I
a
b
Q
P
R
Q
P
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH KHÔNG GIAN 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 12 
4) HÌNH CHÓP ĐỀU & CHÓP CỤT ĐỀU: 
a) Hình chóp đều: 
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các 
cạnh bên bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp 
tam giác đều, hình chóp tứ giác đều  
 Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân 
bằng nhau. 
 Hình chóp là chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác 
đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy. 
 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác 
đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các góc bằng 
nhau. 
b) Hình chóp cụt đều: 
 Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiệt diện song 
song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là 
hình chóp cụt đều. 
 Các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau. 
5) CÁC DẠNG TOÁN: 
 1Vd Cho hình chóp