Hệ thống bài tập tích phân và ứng dụng tích phân

2  dxxxxA
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)  



1.
)1ln(.B;
1 2
2
x
dxxxx
e
dxA
x
2)     dxexx
dxxA x .2eB;
1ln.
.ln x
Chương 2:
tích phân
Bài 1 Tính tích phân bằng phương pháp
phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
1)  
 

3
1
2
1-
2
3
2x
x.dxB;).1( dxxA
2)   

2
1
5
2 22x
dxB;.527
e
x
dx
x
xxA
3)  
2
1
2 ;ln
).1(
xxx
dxxA  2
6
3
3
;
sin
.cos

 x
dxxB
4)  
1
0
4
0
2 dx;B;cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)   
2
1
2
1
0
;
84
B;.
xx
dx
ee
dxeA
xx
x
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trường THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT5
6)   
2
0
3ln
0
;
sin1
B;.

x
dx
ee
dxA
xx
7)  
2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B;
1

 x
dx
xx
dxA
8)  


 


2
1
3
0
22 2
3
t;
49
6B;
cos3sin
x
xx
xdx
xx
dxA

Bài 2: Tính các tích phân
 


2
4
2
0
2 )
4
(cos.sinB;.3sin.5cos



 dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân
 


3
3
4
1-
2
.23B;.2 dxxxdxxA
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B BxAxF  )sin(.)(  thoả mãn F(1) = 2
và  1
0
4).( dxxF
Bài 5: Cho xbxaxF 2cos.2sin.)(  xác định
a,b biết  
2b
a
, 1. va2
2
dxaF 
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
 CMR   
4
0
4
0
2
2 )5
103(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)( 2  x
b
x
a
xF thoả mãn
  1
2
1
, 3.ln2-2F(x).dx va4)(xF
Bài 8: Cho bxaxF  2sin.)( xác định a,b biết
    2
0
, 3).( va40 dxxFF
Bài 2 Tính tích phân bằng phương pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999)   1
0
19 ;.)1( dxxxA
2) (ĐHSP Quy Nhơn)
  1
0
102 ;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)  
1
0
2
5
;.
1
dx
x
xI
4)  
a
xa
dxI
0
222 ;)(
5) (ĐHKT HN 1997)   1
0
635 ;.)1( dxxxI
6) (ĐH TCKTHN 2000)  
1
0
24 1
.
xx
dxxI
Bài 2: : Tính các tích phân sau
1) ;.
4
B;.
1
1
0
2
21
0
  dxx
xdx
x
xA
2)
1
B;.1
0
1
2
1
2
2
2
2 
 

xx
dxdx
x
xA
3) 1995)-(DHTM;.1.
1
0
  dxxxA
4) 1998)(DHYHN;.1
1
2
1
2

 dxxA
5) 2000)HP(DHY;.)1(
1
0
32  dxxA
6) 1998)(HVQY;.
1.
3
2
2  dxxx
dxA
7) (ĐHGTVT HN 1996)   3
0
25 ;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)   3
0
4
0 2cos
.B;.sin
2
x
dxxtgdxxA

2)  
3
6
2
2
0 cos.sincos
.B;
1cossin



xxx
dxtgx
xx
dxA
3) (ĐHQGTPHCM 1998)  
2
0
4sin1
.2sin

x
dxxI
4) (CĐHQ TPHCM 1999)
 
2
0
2cossin711
.cos

xx
dxxI
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trường THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT6
5) (HVKTQS 1996)
  2
3
3
3
.cot.
sin
.sinsin


dxgx
x
xxI
6) (ĐH Y Dược TPHCM 1995)  

0
2cos49
.sin.
x
dxxxI
7) (HVBCVT HN 1998)  
2
0
2
3
cos1
.cos.sin

x
dxxxI
8) (CĐSP TPHCM 1997)  
6
0
2sinsin56
.cos

xx
dxxI
9) (HVNH HN 1998)  
0
2
.cos.sin. dxxxxI
Bài 4: Tính các tích phân sau
1)  
1
0
2
1
.
2
2ln.
4
1
;
2
.ln2 dx
x
x
x
B
x
dxxA
e
2) (ĐH CĐoàn 1999)  
2ln
0 1xe
dxI
3) (ĐH Y HN 1999)  
1
0
2 xx ee
dxI
4)  
2ln
0
2x
2x1
0
.
33e
3eB;. dx
e
edxeA
x
x
x
Bài 5: Tính các tích phân sau (Tham khảo)
**Đổi biến dạng luỹ thừa cơ bản***
1) ;.1B;.
1
1
0
3
3
0
  dxxdxx
xA
2) ;
1
B;1
1
1
2
1
0
3 
 
 dx
xx
xdxxxA
3) ;
1
B;2
1
0
6
22
1
246   dxx xdxxxA
4) ;B;
4
1
4
1
2   dxx
e
xx
dxA
x
**Đổi biến hàm lượng giác cơ bản***
5)  
2
0
4
6
.
cos31
sinB;.cot


dx
x
xdxgxA
6)   
2
0
cos
6
0 2
cos.B;.cossin41

 dxxedxxA x
7)  
2
0
3
4
0
sinsinB;
cossin
cossin

dxxxdx
xx
xxA
8)   4
0
3
34
3
6
2
cos
sinB;
cos
sin


dx
x
xdx
x
xA
9)  
3
6
4
36
0
2
2
sin
cosB;
1
1



dx
x
xdx
xtg
xtgA
10)   
2
0
2
4
0 cos1
2sinB;
2sin2
cossin

dx
x
xdx
x
xxA
**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
11)  

ee
xx
dxdx
x
xA
1
2
1 ln1
B;ln1
12)   
ee
e
x
dxxx
xx
dxA
1
3 2
2
ln1)(lnB;)ln1(cos
4
1
13)  
2ln2
2ln
1
0 1
B;
1 xx e
dx
e
dxA
14)   
1
0
3ln
0
B;
xx
x
xx
ee
dxe
ee
dxA
**Bài tập tổng hợp ** * *
15)  

13ln
5ln1 1)3(
B;)1(
)1(
xx
xe
x
ee
dxe
xex
dxxA
16) ;
1
1ln
1
12
1
0
2  

 dxx
x
x
A
17)  
4
0
22
3
6
2
sincos4cos
B;
cos.sin

 xxx
dxdx
xx
dxA
Bài 3 Tính tích phân bằng phương pháp
 tích phân từng phần
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)   2
0
2
3
0
.cos.B;.cos.

dxxxdxxxA
2)   2
0
3
4
2 .3cos.B;sin
.


dxxe
x
dxxA x
3)  
 e
x dxxdxxeA
00
22 ).cos(lnB;.sin
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trường THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT7
4)    ex dxxdxexA
1
3
2ln
0
.lnB;..
5)   1
0
2
0
2 ).1ln(.B;.ln. dxxxdxxxA
e
6)   2
1
2
1
2
.
lnB;.)ln1( dx
x
xdxxA
e
7) ;.
ln
1
ln
1
2
2  
e
e
dx
xx
A
8)   ex dxxdxeA
1
2
4
4
1
)ln1(B;
9)   2
01
2 cos.sin.B;.ln)1(

xdxxxdxxxxA
e
10)  
2
2
4
2
3
0
2 )(cosB;)1ln(


dxxdxxxA
11)  
2
3
4
0 cos1
sinB;sin
2 


dx
x
xxdxxA
12)  
ee
e
dx
x
xdx
x
xA
1
2lnB;)ln(ln
2
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
1) (ĐHBKTPHCM 1995)  2
0
2
.cos.

dxxxI
2) (ĐHQG TPHCM 2000)  1
0
2 ).(sin dxxeI x 
3) (CĐKS 2000)   e dxxxI
1
.ln).22(
4) (ĐHSPHN2 1997)  4
0
.2sin.5

dxxeI x
5) (ĐHTL 1996)  2
0
2
.cos.

dxxeI x
6) (ĐH AN 1996)  
0
2
.sin. dxxxI
Bài 4 Một số dạng tích phân đặc biệt
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) 


1
1
35
.B;.2cos
2
dxexdxxxA x


2) 
 





2
2
32
1
2
1
2
.
cos1
sinB;.
1
1ln.


dx
x
xdx
x
x
xA
Bài 2: Tính các tích phân sau
1)  
2
0
20042004
20042
0
4 .sincos
cosB;.
sin1
2sin

dx
xx
xdx
x
xA
2)  

0
2
0
2 .cos1
sin.B;.
cos3
sin. dx
x
xxdx
x
xxA
3) ;
13
.sin 2
 



x
dxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)  3
0
;.5cos.3sin.2sin.sin dxxxxxA
2)    2
00
3 ).sin(sinB;.sin.A dxnxxdxxx
3) 


4
4
4
3572
1
2
1
92
cos
)1(
;.sin.A

 x
dxxxxxBdxxx
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính 
 

1
1
2
.
21
1 dxxI
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính 



2
2
2 .sin4
cos


dx
x
xxI
3) (ĐHQG HN 1994) Tính  
0
3
.sin. dxxxI
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính 
 



dxxI
x
.
13
sin 2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính 
 

1
1
4
.
21
dxxI
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số






2
neu x)0(
2
x0neu)(
)( 

f
tgxf
xg
a) CMR g(x) liên tục trên 


2
;0 
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trường THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT8
b) CMR :  4
0
2
4
).().(
 

dxxgdxxg
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
1) ;
23
B;)1(
.
0
1
2
3
2
9
2 
 
 xx
dx
x
dxxA
2) ;)1(B;1
.22( 4
2
10
32
1
3
2   x dxxx dxxxA
3)
;)1()3(B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23






xx
dx
xx
dxxxxA
4) ;
23
)47(B;
65
).63( 0
1
3
1
1
23
23 
 


xx
dxx
xxx
dxxxxA
5) ;
34
B;
2
2
1
24
2
1
23   xx dxxxx dxA
6) ;)4(
.B;).14(
1
0
28
32
1
34
23    x dxxxx dxxxxA
7) ;)1.(
).1(B;)1(
3
1
4
42
1
26   xx dxxxx dxA
8)   
1
0
22
24
3
36
5
;)1)(2(
1322B;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxxA
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (CĐSP HN 2000):   
3
0
2
2
.
1
23 dx
x
xI
2) (ĐHNL TPHCM 1995)  
1
0
2 65xx
dxI
3) (ĐHKT TPHCM 1994)  
1
0
3 .)21( dxx
xI
4) (ĐHNT HN 2000)   
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxxI
5) (ĐHSP TPHCM 2000)  
1
0
2 65
).114(
xx
dxxI
6) (ĐHXD HN 2000)  
1
0
3 1
.3
x
dxI
7) (ĐH MĐC 1995 )  
1
0
24 34xx
dxI
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21)1(23
333
23
2


x
C
x
B
x
A
xx
xx
Tính dx
xx
xxI .
23
333
3
2  
9) (ĐHTM 1995)  
1
0
2
5
1
.
x
dxxI
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxxI 
  x1 t:HD1).1(
2
1
4
2
11)Xác định các hằng số A,B để
1)1()1(
2
22 

x
B
x
A
x
x Tính dx
x
xI .)1(
)2(3
2
2 
12)Cho hàm số 32 )1()1()(  xx
x
xf
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao
cho
     11)2)(1()( 2
2
x
dxE
x
dxD
xx
CBxAxdxxf
b) Tính 3
2
)( dxxf
Bài 6 Tích phân các hàm số lượng giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)  
3
6
2
2
0 cos.sincos
.B;
cossin1



xxx
dxtgx
xx
dxA
2)   3
6
3
0
4
).sincos(B;
2cos
.


dxxx
x
dxxtgA
3) dxxx
x
dxxxA .2cos.sinB;
cos1
)sin( 22
0
2
4
0
 

4) ;
sin1
.cos.2
0
2 

x
dxxxA
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
 
2
0
4
2
0
4 1cos
.2sinJ va;
sin1
.2sin

x
dxx
x
dxxI
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
 Cho
xx
x
xf
cossin
sin)( 
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trường THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT9
a) Tìm A,B sao cho





xx
xxBAxf
sincos
sincos)(
b) Tính  3
0
).(

dxxfI
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
a) CMR  
2
0
44
42
0
44
4
sincos
.sin
sincos
.cos

xx
dxx
xx
dxx
b) Tính  
2
0
44
4
sincos
.cos

xx
dxxI
4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính  
2
0 2sin1

x
dxI
5) (HVKTQS 1996):Tính
  2
3
3
3
.cot.
sin
sinsin


dxgx
x
xxI
6) (ĐHTS 1999) Tính :
  2
0
2
.)cos1.(cos.sin

dxxxxI
7) (ĐHTM HN 1995) Tính  4
0
4cos

x
dxI
8) (HVKTQS 1999):Tính  
4
0
4
3
cos1
.sin.4