Hệ thống bài tập Đại số khối 11 học kì II ban cơ bản

: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162,... 
Tính U1,q,U10,S10 ? 
Giải:
Ta có: 
Vd : Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: 
a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108. 
b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280. 
Giải:
Ta có :
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân
Để chứng minh (Un) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau: 
Định nghĩa
Công thức số hạng tổng quát
Vd : Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un. 
CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân. 
Giải:
Từ đề ta có:
Vậy (vn) là CSN
Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân
  Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 
Vd: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân. 
Giải:
(x – 4)2 = (x – 2)(x + 2)8x=20 x=
TOÁN ĐỐ
Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta được cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng.
Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân.
Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân.
Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85.
Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3. Tìm 2 cấp số ấy.
Ba số dương có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u1, u4, u25 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số ấy.
Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy.
Dạng 4: Tính tổng
Tính tổng:
Giải:
a. 	 là tổng của CSN có 
vậy 
Bài 4. Cho dãy số (un) có un=2n-1.
a. Chứng minh (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
b. Tính S10.
Bài giải:
a. Ta có (không đổi). Vậy (un) là cấp số nhân.
Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2
b. .
Bài 5. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
	b. .
Bài 6. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
 a. 	
 	+ . + .
 b. 	+ q=2 và u1=1 thì .	
 	+thì và u1=-16.
Bài 7. Cho cấp số nhân (un) thỏa:
 a. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
 b. Tính S10.
Bài giải.
	a. 	
	b. 
III GIỚI HẠN DÃY SỐ.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (), nếu Kí hiệu: 
Chú ý: .
Một vài giới hạn đặc biệt.
với .
Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
Một số định lý về giới hạn của dãy số.
Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và .
Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 
Dãy số dần tới vô cực:
Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi .
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim.Ký hiệu: lim(un)= hay un khi .
Định lý:
Nếu : thì 
Nếu : thì 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:
Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : .
Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.
Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=.
Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.
Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
CÁC VÍ DỤ.
 là biểu thức liên hợp của 
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
	b. .	c. 	d. 
Bài giải:
a..
b. .
c. .
d. .
Bài 2. Tính các giới hạn sau.
	b. 	c. 	
d. .	e. 	f. 
Bài 3. Tính các giới hạn.
	b. 	c. 	d. 
Bài giải.
Chú ý : Ta có thể bỏ KH trong giới hạn dãy
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tính các giới hạn sau
Bài 2: Tính các giới hạn
IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và .
Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .
Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.
Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
	Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
Giới hạn của hàm số dạng: 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
Giới hạn của hàm số dạng: 
Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
Giới hạn của hàm số dạng: . Ta biến đổi về dạng: 
Giới hạn của hàm số dạng: 
Đưa về dạng: 
CÁC VÍ DỤ
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
	a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	
Bài giải.
b. 
c. 
d. 
e. 
Bài 2. Tính các giới hạn sau: dạng nhân chia lượng liên hợp
	b. 	c. 
Bài gải.
c. 
Bài 3. Tính các giới hạn sau. chia đa thức
	b. 
Bài giải.
Bài 4. Tính các giới hạn sau. đưa x mũ lớn nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung (chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất)
a.	b. 	c. 	d. .	e. 	f. 
Bài giải.
a. 	
b.
c. 	
d. 
e. 	
f. 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tính các gới hạn
1. 2. 3. 4. ; 5.
Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số
Bài 2: Tính các giới hạn sau
Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 3: Tính các giới hạn sau
	Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
Bài 4: Tính các giới hạn sau
Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng
Bài 5: Tính các giới hạn sau
Tính giới hạn dạng của hàm số 
Bài 6: Tính các giới hạn sau
Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 7: Tính các giới hạn sau
Giới hạn một bên
Bài 8: Tính các giới hạn sau
Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 9: Tính các giới hạn sau
Bài 10: Gọi d là hàm dấu: . Tìm (nếu có).
Bài 11: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 12: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 13: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 14: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số khi 
V. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b) nếu:.Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hsố
f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 (a;b) .
f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và 
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
;	b. 
c. 	d. 	
e. 	f. 
Bài giải.
;	
b. 	
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài 2. Cho các hàm số 
	b. 
Tính các: ; ; ; f(1)?
Bài giải.
a1. x®1+ tức là x>1, khi đó .Vậy 
a2. x®1- tức là x<1, khi đó . Vậy 
Vậy không tồn tại . f(1)=5.(1)+3=8
b1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
b2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy .
Vậy .
Bài 3. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1 
	b. 
Bài giải.
Ta có 
f(1)=1. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Ta có 
f(1)=3. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Bài 4. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.
Ta có .
Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 
Bài 5. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 
Bài 6. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra
 tại điểm 
Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x=1
Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 
Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
Bài 5: Cho hàm số .
a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; 
b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;
c) Tìm a để hàm số liển tục trên 
Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên 
b)Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1)
c)Hàm số f(x)= liên tục trên nửa khoảng .
Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
Bài 3: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên 
b)Hàm số 
c)Hàm số 
Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
Bài 5: Hàm số có liên tục trên R ? 
Bài 6: xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
Bài 7: xét tính liên tục của hàm số trên .
VI. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
	· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
 	 = 	(Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)
	· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
	Ý nghĩa hình học: 
	+ f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại . 
	+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) t