Góc giữa hai mặt phẳng – hai mặt phẳng vuông góc – khoảng cách

Nguyễn Quỳnh Liên 
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – 
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC – KHOẢNG CÁCH 
I. PHƯƠNG PHÁP 
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng: 
- Cách 1: Tính góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
- Cách 2: Tính góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao 
tuyến của hai mặt phẳng đó. 
- Cách 3: Tính thông qua diện tích hình chiếu: S’ = Scosx 
2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: 
- Cách 1:Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 90 độ. 
- Cách 2 :Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. 
3. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: xác định hình chiếu H của M trên d; d(M, d) = 
d(M, H) = MH. 
4. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 
- Cách 1: Xác định mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P), xác định giao tuyến d của 
(P) và (Q). d(M, (P)) = d(M; d) 
- Cách 2: Xác định đường thẳng d qua M và song song với (P). Với mọi điểm A thuộc d ta có 
d(M; (P)) = d(d; (P)) = d(A; (P)). 
- Cách 3: sử dụng công thức tính thể tích: 
1 3 
3
VV hS h
S
  
5. Tính khoảng cách giữa hai mp song song: tính khoảng cách từ một điểm thuộc mp này đến mp 
kia. 
6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: 
- Cách 1: Nếu a b: xác định (P) đi qua b và vuông góc a tại A. d(a, b) = d(A,b) 
- Cách 2: xác định (P) đi qua b và song song a, d(a, b) = d(a; (P)). 
- Cách 3: xác định hai mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt đi qua a, b. d(a, b) = d((P);(Q)). 
- Cách 4: xác định đoạn vuông góc chung của a, b, tính độ dài đoạn đó. 
Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b: 
 Nếu a b xác định (P) đi qua b và vuông góc a tại A, xác định hình chiếu H của A trên b, 
đoạn vuông góc chung là AH. 
 Phương pháp chung: dựng mp(Q) đi qua b và song song a, xác định mp (P) đi qua a và 
vuông góc (Q), (P) cắt b tại J, dựng đường thẳng d đi qua J và vuông góc với (Q), d cắt a tại 
I. IJ là đoạn vuông góc chung của a và b. 
7. Một số phương pháp xác định chân đường cao các loại khối chóp: 
- Loại 1: Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì đó chính là chiều cao. 
- Loại 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc đáy thì đường cao là đường vuông góc kẻ từ 
đỉnh đến giao tuyến của mặt bên đó và đáy. 
- Loại 3: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc đáy thì đường cao là giao tuyến 
hai mặt kề nhau đó. 
- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc 
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
- Loại 5: Khối chóp có các mặt bện tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tân 
đường tròn nội tiếp đáy. 
II. BÀI TẬP 
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính góc giữa các cặp mp sau: 
a) (A’C’D) và (A’B’C’D’) b) (ABB’A’) và (ACC’A’) c) (DA’C’) và 
(ABB’A’) 
Nguyễn Quỳnh Liên 
2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều) có cạnh đáy và 
cạnh bên đều bằng a. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai mặt phẳng: 
a) (A’MC) và (ABC) b) (ABC’) và (BCA’) 
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,  030ABC  , AB = 2a, SA (ABC), 
3SA a . Tính góc giữa hai mp (SAB) và (SBC). 
4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. SA (ABCD), 3SA a . Tính góc 
giữa các cặp mp sau: 
a) (SBC); (ABCD) b) (SBD); (ABCD) c) (SAB),(SCD) d) 
(SAC);(SBD) 
5. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân, BA = BC = SA = a; SA (ABC), E, F 
lần lượt là trung điểm AB, AC. Tính góc giữa: (SAC) và (SBC); (SEF) và (SBC). 
6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = 2a; xác định 
góc giữa: 
a) (ABCD) và (A’B’CD) b) (ABCD) và (C’BD) 
7. Cho tam giác ABC trực tâm H. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi O 
là trực tâm tam giác MBC. Chứng minh. 
a) (OCH)  (MBC) b) (OBH)  (MBC) c) OH (MBC) 
8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên AA’ = b. 
M là trung điểm của CC’. Xác định tỉ số a/b sao cho: 
a) (A’BD)  (MBD) b) (MBD)  (MB’D’) 
9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD), M, N lần lượt là trung điểm 
CD, SB. Chứng minh: 
a) (ABCD) vuông góc với (SAD) và (SAB). 
b) (SBD)  (SAC). 
c) (P) qua MN và vuông góc (SAC). Xác định thiết diện của (P) với hình chóp 
10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng BD, CE cùng vuông góc với ABC (D, E nằm cùng phía đối 
với (ABC)). 
a) CM: (ABD) (ABC) b) Hạ AHBC; AKDE, CM: (BCED) và (ADE) cùng  (AHK) 
11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a, SA (ABCD), 5SA a , M là trung điểm 
BC. 
a) Xác định N thuộc cạnh CD sao cho MN (SAM) 
b) Gọi H là trung điểm SM. Chứng minh (AHD)  (SMN). 
12. Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. 
a) Xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ với mp qua các trung điểm của AB, AA’ và 
vuông góc với mặt bên (BCC’B’). 
b) Xác định I thuộc cạnh CC’ sao cho (IAB)  (IA’B’). 
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a. Xác định và tính 
diện tích thiết diện của hình chóp và mp (P) trong mỗi trường hợp sau: 
a) (P) qua tâm O của đáy , trung điểm M của SD và vuông góc (ABCD). 
b) (P) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc (SBC). 
14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, tính diện tích thiết diện của (P) với lập phương 
trong những trường hợp sau: 
a) (P) qua trung điểm BC, CD và vuông góc (A’B’CD). 
b) (P) qua trung điểm BC, C’D’ và vuông góc (ACC’A’). 
15. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, tính khoảng cách từ A đến BC và (BCD). 
16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao AA’ = 2a.Tính 
khoảng cách: a) Từ A đến (BDD’B’) b) Từ D’ đến (DA’C’). 
Nguyễn Quỳnh Liên 
17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA (ABC). Biết AC = 2a, SA = a. Gọi 
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, SB. 
a) Chứng minh MP//(SAC). Tính d(MP;(SAC)) 
b) Chứng minh (MNP)//(SAC), tính d((MNP);(SAC)). 
c) Tính d(SA;(CMP)). 
18. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên B’C tạo với (ACC’A’) 
góc 30 độ. 
a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ. 
b) Gọi N là trung điểm của B’C’, I là trung điểm A’C, tính d(NI,(ABB’A’) 
19. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA (ABCD), SA = 2a. Gọi M, N, P 
lần lượt là trung điểm SB, SC, SD. Tính d(SD,BC); d(BC,SC); d(AD,CM); d(MP,AC). 
20. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, SA (ABC), SA = 2a, M 
là trung điểm AC. Tính d(BC;SA); d(A,(SBC)); d(SM,BC). 
21. Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, SA (ABCD), SA = a. M, N là 
trung điểm SB, SC. Tính d(AB,(SCD)); d(O,(SBC)); d((OMN),(SAD)). 
22. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a. Gọi M là điểm trên cạnh 
AD sao cho MA = 3MD. Tính d(M, (AA’C’C)); và d(M,(ACB’)). 
23. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại C, AC = a, CB = 2a, SA = 3a , SA (ABC), D 
là trung điểm AB. Tính d(AC,SD); d(BC,SD). 
24. Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 4 2 , cạnh bên SC = 3 
vuông góc đáy, M là trung điểm AC. Tính d(C,(SAB)); d(SM,BC). 
25. (D-2007) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang   090ABC BAD  , BA = BC = a; 
AD = 2a, SA (ABCD) và SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB, tính 
d(H,(SCD)). (có thể tính bằng thể tích) 
26. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, chiều cao SO = 2a. 
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và từ AD đến (SBC). 
b) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa: AC và SB; AD và SB. 
27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = a; AD = 2a; AA’ = a. 
a) Tính d(AD’,B’C). 
b) Tính d(A; B’C). 
c) Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = 3MD, tính d(M, AB’C). 
28. Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm AA’ và BC, I là tâm hình 
vuông BCC’C’. 
a) Tính d(A, B’D’) 
b) CM: MN//(DIA’), tính d(MN,(DIA’)) 
c) Tính d(A,(DMN)). 
29. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông cạnh a. D, E. F lần lượt là 
trung điểm BC, A’C’, C’B’. tính d(DE, AB’) và d(A’B, B’C’). 
30. (dự bị A – 2007) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mp (SBC) và (ABC) = 60 độ, ABC, SBC 
là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến (SAC). (tính bằng thể tích) 
31. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’= 2a , 
M là trung điểm BC. Tính thể tích lăng trụ và d(AM, BC). 
32. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, E đối xứng D qua trung 
điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC. Chứng minh MN vuông góc BD và dính 
d(MN, AC).