Giới hạn dạng vô định

g thức lƣợng 
giác, thêm bớt, nhân liên hợp  
 Ví dụ áp dụng 
 Ví dụ 13 : 13 x 0
1+sinax - cosax
L lim
1- sinbx - cosbx
 
 Bài giải : 
13
x 0 x 0
1+sinax - cosax 1- cosax+sinax 
L lim lim
1- sinbx - cosbx 1- cosbx - sinbx 
 
  
2
x 0 x 02
ax ax axax ax ax 2sin sin cos2sin +2sin cos 2 2 22 2 2 = lim lim
bx bx bx bx bx bx2sin - 2sin cos 2sin sin - cos
2 2 2 2 2 2
 
 
 
 
 
 
 

  
x 0 x 0
ax ax ax
sin sin cos a2 2 2=lim .lim
bx bx bx bsin sin - cos
2 2 2
 

  
 Vậy 13
a
L
b
  
 Ví dụ 14 : 14 2x 0
1 cosax
L lim
x

 
 Bài giải : 
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
12 
2 2
2
2 2 2
14 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
ax ax ax
2sin sin sin
1 cosax a a a2 2 2L lim lim lim . lim
ax axx x 2 2 2
2 2
   
    
    
        
    
     
 Vậy 
2
14
a
L
2
 
 Ví dụ 15 : 15 2 0
1 xsinx - cos2x
L lim
sin xx

 
 Bài giải : 
 15 2 2 0 0
1 xsinx - cos2x (1 - cos2x) xsinx 
L lim lim
sin x sin xx x 
 
 
 
2
2 2 0 0 0
 0 0
2
2sin x xsinx sinx(2sinx x) 2sinx x
lim lim lim
sin xsin x sin x
x x
lim 2 lim 2 1 3
sin x sin x
x x x
x x
  
 
   
 
     
 
  
 
 Vậy L15 = 3 
 Ví dụ 16 : *16 2x 0
1- cosx.cos2x...cosnx
L lim (n N )
x
  
 Bài giải : 
16 2x 0
2x 0
1- cosx.cos2x...cosnx
L lim
x
1-cosx+cosx-cosxcos2x+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x-cosx.cos2x...cosnx
lim
x





2x 0
2 2 2x 0 x 0 x 0
...
1-cosx+cosx(1- cos2x)+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)
lim
x
1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)
lim lim lim
x x x

  

   
Theo kết quả bài 14 ta có : 
2
2x 0
1
2
1-cosx
lim
x
 
2
2 2x 0 x 0 x 0
.
cosx(1-cos2x) 1-cos2x 2
lim lim cosx lim
2x x  
  
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
13 
2x 0
2
2x 0 x 0 x 0 x 0
. ... .
cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)
lim
x
1- cosnx n
lim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim
2x

   

 
Do đó 
2 2 2 2 2 2
16
1 2 n 1 2 ... n n(n+1)(2n+1)
L ...
2 2 2 2 12
  
      
 Trong bài tập này ta đã sử dụng thuật thêm bớt : 
 cosx, cosxcos2x,, cosxcos2xcos(n - 1)x 
để biến đổi và tính giới hạn đã cho. Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò 
quan trọng trong kỹ năng biến đổi đối với bài tập này. 
 Ví dụ 17 : 
2
17 2x 0
1 x cosx
L lim
x
 
 
 Bài giải : 
2 2
17 2 2x 0 x 0
(1 x cosx 1 x 1) (1 cosx)
L lim lim
x x 
 
     
 
2
2 2 2
2 2 2x 0 x 0 x 0 x 02 2
x
( ( 2
(
2sin1 x 1 1 cosx 1 x 1) 1 x 1)
lim lim lim lim
x x xx 1 x 1)   

    

     

2
2
2
2x 0 x 0 x 0 x 02 2 2
x x
2 2 .
(
2sin sin1 x 1 1 1
lim lim lim lim
x 2xx 1 x 1) 1 x 1
2
   
 
 
     
   
 

 
1 1
1
2 2
   
 Vậy L17 = 1. 
 Kết luận : 
 Để khử dạng vô định đối với hàm số lƣợng giác, học sinh cần nắm vững 
và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số, lƣợng giác cũng nhƣ áp dụng 
các giới hạn cơ bản. Ở đây chỉ có giới hạn 
x 0
sinx
lim 1
x
 đƣợc sử dụng trực tiếp, 
các kết quả còn lại khi làm bài phải chứng minh lại. 
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
14 
 Để vận dụng giới hạn 
x 0
sinx
lim 1
x
 , cần đƣa hàm số cần tính giới hạn về 
dạng : 
0 0 0x x x x x x
sin f (x) f (x) tgf (x)
lim , lim , lim 
f (x) sin f (x) f (x)  
 với 
0x x
lim f (x) 0

 bằng cách 
thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với một lƣợng thích hợp nào đó. 
Trong khi giải bài tập, học sinh có thể gặp khó khăn, lúng túng để đƣa về các 
dạng trên. Giáo viên cần khắc phục bằng cách cho học sinh làm các bài tập nhƣ : 
2
2 0 1
sinx sin(x 1)
lim , lim , ...
1 cosx x 3x+2x x 

 
Bài tập tự luyện 
 Tính các giới hạn sau : 
 1) 
 0
1+sinx 1 sinx
lim
tgxx
 
 2) 
 0
(a+x)sin(a+x) asina
lim
xx

 3) 
x 0
1 cosxcos2xco3x
lim
1 cosx


 4)
2
2 0
2sin x+sinx 1
lim
2sin x 3sinx+1x


 5) 
3
3π
x 
4
1 cotg x
lim
2 cotgx cotg x

 
 6) 
3
x 0
1 cosx cos2x cos3x
lim
1 cos2x


6. Giới hạn dạng vô định 
0
0
 của hàm số mũ và lôgarit. 
 Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi và sử dụng các giới hạn cơ 
bản sau đây : 
 +) 
x
x 0
1
lim 1
x
e


 
 +) 
x 0
ln(1 x)
lim 1
x

 
Các giới hạn trên đều đƣợc thừa nhận hoặc đã chứng minh trong Sách giáo khoa. 
Ngoài ra giáo viên cần đƣa ra cho học sinh hai giới hạn sau : 
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
15 
 +) 
x xlna
x 0 x 0
a 1 1
lim lim .lna lna
x x.lna
e
 
 
 
 
 
 
  ( Vì 
xlna
x 0
1
lim 1
xlna


e
) 
 +) 
x 0 x 0 x 0
a .
log (1 x) ln(1 x) ln(1 x)1
lim lim lim lna
x x.lna lna x  
 
  
 
 Ví dụ áp dụng : 
 Ví dụ 18 : 
ax bx
18 x 0
L lim
x
e e


 
 Bài giải : 
x 0 x 0
ax bxax bx
18
1) 1)
lim lim
( (
L
x x 
 
 


e ee e
ax bx
x 0 x 0
ax bx
x 0 x 0
( 1) ( 1)
lim lim
x x
( 1) ( 1)
a. lim b. lim
ax bx
a b
e e
e e
 
 
 
  
 
  
 
 Vậy L18 = a - b. 
 Trong bài tập này để sử dụng giới hạn cơ bản ta đã thực hiện thêm bớt 1 
và tách thành hai giới hạn. Cần nhấn mạnh cho học sinh khi x 0  thì ax 0  , 
do vậy 
ax bx
x 0 x 0
( 1) ( 1)
lim 1, lim 1
ax bx 
 
 
e e
. 
 Ví dụ 19 : 
sin2x sinx
19 x 0
L lim
sinx
e e


 
 Bài giải : 
sin2x sinxsin2x sinx
19 x 0 x 0
1) 1)( (
L lim lim
sinx sinx
e ee e
 
 
 

 
sin2x sinx
x 0 x 0
sin2x sinx
x 0 x 0
1 1
lim lim
sinx sinx
1 1
lim .2cosx lim
sin2x sinx
e e
e e
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 x 0 x 0 x 0
sin2x sinx
. (2cosx)
1 1
lim lim lim
sin2x sinx
2 1 1
  
 
 
 
 
 
  
  
e e
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
16 
 Vậy L19 = 1. 
 Ví dụ 20 : 
x 2
20 x 2
2 x
L lim
x 2



 Bài giải : 
x 2 x 2
20 x 2 x 2
4) 4)2 x (2 (x
L lim lim
x 2 x 2 
 
 
 

 
x 2x 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2 x 2
1) 2)(x+2)4 4
1
4
4(2 (x2 x
lim lim lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2
2
lim lim (x+2) 4ln 2 4
x 2

   

 
  
    

 
   
 

 Vậy L20 = 4ln2 - 4 
 Ví dụ 21 : 
223 2x
21 2x 0
1 x
L lim
ln(1+x )
e

 
 
 Bài giải : 
22 33 2 2x2 2x
21 2 2x 0 x 0
( 1)1 x 1) (1 x
L lim lim
ln(1+x ) ln(1+x )

 

 
   

ee 
2 23 32 2x 2 2x
2 2 2x 0 x 0 x 0
( 1) 11 x 1) ( 1 x 1
lim lim lim
ln(1+x ) ln(1+x ) ln(1+x )
 
  
 
   
    e e
3 32 23
32 2 23
2 2
2 2
2 2
x 0 x 02
2x
( ( ) 1
( ) 1
.
1 2x
ln(1+x )
1 x 1)( 1 x 1 x )
lim lim
( 1 x 1 x )ln(1+x ) 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
  
e
2
2
232 2 23
2
2
2x
x 0 x 0 x 02
.
( ) 1
1 2x
ln(1+x )
x
lim lim lim
2x( 1 x 1 x )ln(1+x )

  
 


 

 
e
22
2 232 23
2
2
2x
x 0 x 0 x 0 x 02
. .
( ) 1
x 1
ln(1+x )
2x
ln(1+x )
1 7
.1 1.( 2)
3 3
1
lim lim lim lim
2x1 x 1 x

   
 


 

   
 
e
 Vậy 21
7
L
3
 
 Kết luận : 
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
17 
 Để tính các giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit, học sinh thực 
hiện các phép biến đổi để áp dụng các giới hạn cơ bản. Yêu cầu học sinh phải 
thành thạo các phép toán về luỹ thừa và lôgarit. 
 Để sử dụng các giới hạn cơ bản, bằng cách thêm, bớt, nhân liên hợp,  
học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về một trong các dạng : 
   
0 0 0 0
f(x) f(x)
a
x x x x x x x x
ln 1+f(x) log 1+f(x)1 a 1
lim , lim , lim , lim
f(x) f(x) f(x) f(x)
e
   
 
 với 
0x x
lim f (x) 0

 
Bài tập tự luyện 
 Tính các giới hạn sau : 
 1) 2) 
x x
x xx 0
5
4 3
lim
9



 3) 
x 0
2
2
x3 cosx
x
lim


 4) 
x
3 4x 0
(1 )(1 cosx)
lim
2x 3x
e

 

 5) 
x 0
1 1 x
lim .ln
x 1 x
 
 
 
 


 6) 
sin2x sinx
2x 0
lim
5x + tg x
e e


II. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 


 Giới hạn dạng vô định 


 có dạng là : 
0x x
(x )
f(x)
L lim
g(x)
 
 trong đó : 
0 0x x x x
(x ) (x )
f(x) g(x)lim lim
 
   
  
 Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng là chia cả tử và mẫu 
cho luỹ thừa bậc cao nhất của tử và mẫu của phân thức 
f(x)
g(x)
. Cụ thể nhƣ sau : 
 1) Nếu f(x), g(x) là các đa thức có bậc tƣơng ứng là m, n thì ta chia cả 
f(x), g(x) cho x
k
 với k = max{m, n} 
m m 1
m m 1 1 0
n n 1x 
n n 1 1 0
a x +a x +...+a x+a
L lim
b x +b x +...+b x+b


 

 với *m na ,b 0, m,n N  
 Khi đó xảy ra một trong ba trƣờng hợp sau : 
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 
18 
 +) m = n (bậc của tử và mẫu bằng nhau), chia cả tử và mẫu cho xn ta 
đƣợc: 
0m 1 1
nn 1
m m
0n 1 1 n n
nn 1
x x 
m
n
aa a
a ax xx
bb b b b
x xx
a
lim lim
b
+ +...+ +
L
+ +...+ +




   
  
 +) m > n (bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, k = m), chia cả tử và mẫu cho 
x
m
 ta đƣợc : 
n
m nm n+1
n
m n
0m 1 1
mm 1
m
x x 
0n 1 1
m
m
b
x
b
x
aa a
a
ax xxlim lim
bb b
x x x
+ +...+ +
L
+...+ ++ 


   

  
 +) m < n (bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ trên ta có 
: 
0m m 1
n m nn m+1
x 
0n 1
n n
aaa
...
x xxlim 0
bb
b ...
x x
L

 
 

  
 
  
 Học sinh cần vận dụng kết quả : 
0 0 0 0x x x x x x x x
1 1
lim f (x) lim 0, lim f (x) 0 lim
f (x) f (x)   
     
 Sau khi xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút ra nhận xét kết quả giới 
hạn cần tìm dựa vào bậc của tử và mẫu. Lƣu ý là có thể chia tử và mẫu cho xh 
với 
h min{m, n}. 
 2) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức có chứa căn thức thì ta quy ƣớc lấy giá 
tr