Giáo trình Hình học vi phân

có 
Cho nên 
Định nghĩa 5.2.1 Trong tham số hoá tự nhiên (t = s) 
được gọi là độ cong pháp dạng. 
được gọi là độ cong trắc địa. Nếu kg ≠ 0, ta gọi véctơ đơn vị ninner để 
là véctơ pháp tuyến trong. 
Theo Định lí Pitagoras, ta có hệ quả sau. 
Hệ quả 5.2.2 
Mệnh đề 5.2.3 Trong tham số hoá t bất kì 
Chứng minh. Suy trực tiếp từ công thức tính đạo hàm của hàm hợp. 
Mệnh đề 5.2.4 Giả sử k1 , k2 là các độ cong chính với các phương chính tương 
ứng là e1, e2. Khi đó ta có 
 47
Chứng minh. Thật vậy, 
Định nghĩa 5.2.5 Với mỗi véctơ tiếp xúc đại lượng không 
đổi khi ta nhân với một số khác 0, gọi là độ cong pháp dạng của S theo phương 
xác định bởi . Công thức Meusnier[Mơniê]: 
Ví dụ: Với mỗi phương chính, ta có 
Hệ quả 5.2.6 1 . Mọi cung song chính quy γ nằm trên mặt S, có cùng tiếp tuyên 
(tức là véctơ tiếp xúc của chúng tỉ lệ với nhau) tại s∈S và có cùng mặt mật tiếp (giả sử 
nó khác với mặt phẳng tiếp xúc TPS) thì có cùng độ cong tại p. 
2 . Nếu giao của S với mặt phẳng chứa pháp tuyến của S tại p là một cung song 
chính quy γ trong lân cận của điểm p thì độ cong của γ tại p bằng trị tuyệt đối của độ 
cong pháp dạng của S theo phương của tiếp tuyến của γ tại p. 
5.3 Phương chính và độ cong Gauss 
Với mỗi véctơ riêng của họ ta có 
Nếu ta chọn cơ sở trực chuẩn của TpS gồm các véctơ riêng của hp, thì 
Định nghĩa 5.3.1 
được gọi là độ cong chính của S tại p. 
Mệnh đề 5.3.2 (Công thức Euler) Nếu = cos + sin thì độ cong pháp 
dạng theo phương là 
 48
Chứng minh. 
Hệ quả 5.3.3 1. Các độ cong chính là các cực trị của độ cong pháp dạng 
 khi thay đổi trên TpS\{0}. 
2 . Nên các độ cong chính có cùng dấu thì độ cong pháp dạng cũng 
có cùng dấu đó. Nên các độ cong chính khác dấu nhau thì luôn tồn tại phương 
∈TpS\{0} để = 0. 
5.4 Một Số tính chất đặc trưng của đường trên mặt cong 
Định nghĩa 5.4.1 Véctơ tiếp xúc a ∈ TpS được gọi là phương tiệm cận, nếu 
Đường tiệm cận là đường mà tại mỗi điểm knorm = 0. 
Hệ quả 5.4.2 Nếu tại điểm P∈S, K(P) ≤ 0 thì có tồn tại phương tiệm cận; nếu 
K(P) > 0 thi không có phương tiệm cận tại P. Nếu mặt S có độ cong Gauss K(p) < 0 tại 
mọi nơi thì tại mọi điểm đều tồn tại phương tiệm cận . 
Định nghĩa 5.4.3 Các đường độ cong (curvature line) là các đường mà tại mỗi 
điểm các vectơ tiếp xúc là hai phương chính. Đường trắc địa (geodesic line) là đường 
mà tại mỗi điểm của nó, kg = 0. 
Hệ quả 5.4.4 Dọc theo đường trắc địa, ta có 
Phương trình đường trắc địa là 
Định lí 5.4.5 Nếu u(t) là đường trắc địa nối 2 điểm A và B, ứng với 2 tham số t1 
và t2, chỉ khi 
 49
Chứng minh. Theo nguyên lý Fermat-Hugen 
và do đó 
thì đạo hàm biến phân là triệt tiêu 
Đạo hàm biến phân và tích phân có thể đổi chỗ cho nhau, cho nên 
Từ đó suy ra phương trình đường trắc địa. 
5.5 Định lí Gauss - Bonnet 
Trước hết chúng ta nhắc lại đôi điều về tích phân đường và tích phân mặt trong 
giải tích. 
Tích phân đường loại I của hàm f(x, y, z) dọc theo đường cong tham số hoá γ 
cho bởi tham số hoá r(t) được định nghĩa là tích phân Riemman 
Ví dụ tích phân độ dài đường cong là tích phân đường loại I. 
Tích phân đường loại II ∫γω = ∮γω của một biểu thức vi phân, còn được gọi là 1 
dạng vi phân, 
 50
với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x1, x2, x3 là tích phân Riemman 
trong đó α(t), β(t), γ(t) lần lượt là các góc giữa dr(t) với ba trục toạ độ e1, e2, e3 1 
Tích phân mặt loại I , ∫∫∑f(x(u1, u2))dS của hàm f(x, y, z) dọc theo mặt cong tham 
số hoá ∑ cho bởi tham số hoá r(u1, u2), (u1, u2)∈D được định nghĩa là tích phân 
Riemman 
Ví dụ tích phân diện tích mặt cong 
là tích phân mặt loại I. 
Tích phân mặt loại II ∫∑ω = ∮∑ω của một biểu thức vi phân bậc 2, còn được gọi 
là 2 - dạng vi phân, 
với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x = (x1, x2, x3) là tích phân Riemman 
trong đó n(u1, u2) = (n1(u1, u2), n2(u1, u2), n3(u1, u2)) là ba thành phần của véctơ 
pháp tuyến ngoài với mặt định hướng thuận ∑ 
Giả sử ϕ: U ⊆ R2 → R3 là một tham số hoá địa phương của mặt M. Giả sử 
∆A0BB0C0 là một tam giác trong U. Ảnh của tam giác này qua ánh xạ ϕ là một tam giác 
cong, kí hiệu là (ABC) với các đỉnh A= ϕ(A0), B = ϕ(B0), C = r(C0) và các cạnh (cong) 
 51
tương ứng là a = ϕ([B0B , C0]), b = ϕ([A0, C0]), c = ϕ([A0, B0]). Chúng ta cũng kí hiệu 
độ lớn đo bằng radian của góc ngoài tại đỉnh A trong mặt tiếp xúc TAM và tương tự cho 
. Chúng ta kí hiệu K là độ cong Gauss của M và μ là phần tử diện tích chính tắc 
(với hướng đã chọn) trên mặt M, kg là độ cong trắc địa của cung tương ứng. Ta kí hiệu 
Định lí 5.5.1 (Công thức Gauss-Bonnet) 
Chứng minh. Chúng ta chọn một trường mục tiêu trực chuẩn định hướng thuận 
e1, e2 trên V = ϕ(U) và gọi ω21 là dạng liên thông của M trong trường mục tiêu đó. Nếu 
ρ : I = [0, 1] → V là một cung định hướng, ||ρ’|| = 1 và nếu ta viết ρ’(a) = cos 
ϕ(s)e1(ρ(s))+ sin ϕ(s)e2(ρ(s)) thì 
Khi đó độ cong pháp dạng knorm = 0, 
và ta có 
trong đó ϕ(s0) = là độ lớn của góc định hướng tạo bởi e1(ρ(s0)) và 
(ρ’(s0). Vậy nên ta có 
 52
Tương tự, ta cũng có công thức cho ∫bkgds và ∫ckgds. 
Cuối cùng là chúng ta có 
Theo công thức Stokes, ta có 
Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra là bội số 1 = 1. Thật vậy, chúng ta có công thức 
Chúng ta kí hiệu 0 là c ấu trúc Riemann trên V = r(U) ~ đẳng cấu đẳng cự 
với U ⊆ R2 . Khi đó với mỗi t∈[0, 1] công thức t := (1 – t) 0 + t xác 
định cấu trúc Riemann trên V và công thức của ta có dạng 
đúng với mọi t∈[0, 1] Hai tích phân ở vế trái phụ thuộc liên tục vào t . Suy ra l cũng 
phụ thuộc liên tục vào t . Nhưng l ∈ Z , nên l không phụ thuộc vào t . Khi t = 0 ta có K 
= 0, kg = 0, và , theo hình học Euclid trong R2. Vậy suy ra l = 1. 
 Nhận xét 5.5.2 1 . Chúng ta kí hiệu các góc trong của một tam giác là 
. Công thức Gauss -Bonnet trở thành 
2. Nếu a, b, c là những cung trắc địa thì công thức Gauss-Bonnet trở thành 
 53
Vậy tổng các góc trong của một tam giác với các cạnh là các đường cong trắc 
địa lớn hơn π nên độ cong Gauss K > 0, và bé hơn π nêu K < 0 và bằng π nên độ cong 
Gauss K = 0. 
3. Độ cong trắc địa kg dọc theo một cung định hướng trên mặt hai chiều định 
hướng đổi dâu khi đổi định hướng của cung đó cho nên tích phân ∫γ kgds thực ra là tích 
phân đường loại II, tức là tích phân của dạng vi phân Kgds dọc theo đường cong định 
hướng γ . 
Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sử M là một mặt định hướng, compắc và 
được chia ra bởi một lưới các điểm thành các tam giác cong (được gọi là tam giác 
phân hoá). Kí hiệu β1,β2,β3 lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt tam giác của tam 
giác phân đó, 
Khi đó 
Chứng minh. Kí hiệu σ là tam giác cong của tam giác phân đó. Theo công thức 
Gauss-Bonnet cho tam giác ta co 
trong đó ∆(σ) là tổng các góc trong của tam giác cong σ. Vì mỗi cạnh của tam giác 
phân là cạnh của đúng hai tam giác cong kề nhau trong tam giác phân đó và cùng 
hướng với cạnh ấy khi coi nó là thuộc tam giác này và ngược hướng với cạnh ấy khi 
coi nó thuộc tam giác kia. Cho nên 
Tổng các góc trong của một tam giác cong tại mỗi đỉnh bằng 2π, nên 
 54
vậy nên ta có 
Mỗi cạnh của tam giác phân thuộc đúng hai tam giác cong, mà mỗi tam giác 
cong có ba cạnh cho nên 2β1 = 3β2 . Từ đó suy ra 
Nhận xét rằng đặc trưng Euler tổng quát trong tôpô học cũng chính là 
X(M)=Eul(M). 
5.6 Bài tập củng cố lý thuyết 
1. Tìm cung chính quy trong R3. Xác định bởi tham số hoá t 6 ρ(t) biết phương 
trình tiếp tuyến tại mỗi điểm t của nó trong toạ độ của không gian tiếp xúc cho bởi hệ 
phương trình 
Gợi ý: Dùng định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân . 
2. Tính độ dài của các cung trên đoạn t ∈[t0, t1]: 
a. Trong toạ độ Đề Các x(t) = t, y(t) = t n, z(t) = c0 ( = const) . 
b. Trong toạ độ trụ (r, ϕ , z), 
c Trong toạ độ cầu (r, ϕ , θ): 
 55
3 . Cho cung đinh ốc tròn II xác định bởi 
trong R3 . 
a. Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt 
phẳng mật tiếp, mặt pháp diện, mặt trực đặc của nó tại mỗi điểm. 
b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không đổi so với mặt 
phẳng nằm ngang Oxy cong các pháp tuyến chính luôn luôn cắt trục Oz. 
4. Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của: a. mặt đinh ốc dựng đứng. 
b. mặt paraboloid. 
c . mặt tiếp xúc . 
5 . Cho mặt S trong R3 xác định bởi phương trình 
x2 + y4 + z6 - 1 = 0. 
Chứng minh rằng S là một đa tạp compắc, định hướng. Gọi μ là dạng diện tích 
chính tắc của S và K là độ cong Gauss của S. Hãy tính ∫S Kμ 
 56
Chương 6 
Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn 
Hình học vi phân cần đến các phép toán vi phân và tích phân khá tổng quát. Cho 
nên việc nghiên cứu được bắt đầu từ việc hệ thống hoá phép tính vi phân trong Rn . 
Trong chương này chúng ta sẽ tiếp cận khái niệm đa tạp khả vi từ khía cạnh giải tích, 
xem chúng như những tập nghiệm của một hệ phương trình hàm trong không gian Rn. 
Sau đó tư tưởng "bó hoá" dẫn dắt đến sự nghiên cứu đa tạp tổng quát. 
6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản 
Chúng ta kí hiệu Rn là tập tất cả các số thực, Rn là tích Đề Các (Descartes) của n 
phiên bản tập các số thực 
Nói một cách khác, mỗi phần tử của Rn là một bộ n số thực x = (x1,, xn), xi∈R. 
Chúng ta kí hiệu theo truyền thống kí hiệu tensơ trong hình học và do vậy viết các chỉ 
số ở trên. Để cho gọn, ta sẽ kí hiệu các phần tử đơn giản là x, y, và gọi chúng là các 
véctơ. Đôi khi để nhấn mạnh rằng chúng là các véctơ, ta sẽ kí hiệu thêm dấu mũi tên 
phía trên đầu hoặc viết bằng chữ đậm : x, y,  
Không gian Euclid n-chiều Chúng ta định nghĩa các phép toán trên các véctơ như 
sau: Nếu x = (x1,, xn), y = (y1,, yn) là các véctơ thuộc Rn và λ∈Rn, thì 
Tổng các véctơ x và y là véctơ x + y: 
Tích véctơ với một vô hướng λ là véctơ λx: 
Mệnh đề 6.1.1 Cùng với các phép toán trên, Rn là một không gian véctơ. 
Chứng minh. Hiển nhiên là véctơ 0:= (0,  , 0) sẽ là véctơ trung hoà cho phép 
cộng. Phần tử đối của véctơ x là véctơ - x = (- x1,, - xn) . Để chứng minh mệnh đề 
chúng ta chỉ cần kiểm tra các tiên đề của một cấu trúc không