Giáo trình Cơ học

naøy chính laø löïc troïng tröôøng ñaët leân vaät m : 
F = P = mg0 (4.18) 
Vôùi g0 goïi laø gia toác troïng tröôøng ôû maët ñaát. Töø (4.17) vaø (4.18) ta coù: 
 g0 = GM/R2 (4.19) 
Giaù trò g0 ñöôïc ño baèng thöïc nghieäm, phuï thuoäc vó ñoä cuûa nôi ño, neáu 
laáy giaù trò trung bình g0 = 9,8m/s2, baùn kính Quaû ñaát R = 6,37.106m. 
G=6,67.10-11m3kg-1s-1 (hay Nm2kg-2) ta tính ñöôïc khoái löôïng cuûa Quaû ñaát : 
Töø (4.19) ta coù : 
 M = g0r2/G ≈ 5,98.1024kg 
Taïi moät ñieåm caùch maët ñaát ñoä cao h, löïc troïng tröôøng taùc duïng leân vaät khoái 
löôïng m tính bôûi : 
 P = GmM/(R+h)2 = mg (4.20) 
Suy ra gia toác troïng tröôøng taïi ñoä cao h : 
2
0 )hR
R(gg += (4.21) 
(4.19) vaø (4.21) cho : 
2
0
2
0
2
0 )R
h1(g)
R
h1
1(g)
hR
R(gg −+=
+
=+= (4.22) 
Do h<<r, suy ra h/r<<1; do ñoù (1+h/r)-2 ≈ 1 – 2h/r , (4.22) trôû thaønh : 
 g = g0(1 – 2h/R) (4.23) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 62 - 
Coâng thöùc (4.23) cho thaáy caøng leân cao, g caøng giaûm. Coâng thöùc naøy chæ 
ñuùng khi h<<R. 
b) Tính khoái löôïng cuûa thieân theå : 
Ta coù theå tính khoái löôïng cuûa Maët Trôøi thoâng qua löïc haáp daãn. Goïi R laø 
khoaûng caùch töø taâm Quaû ñaát ñeán taâm Maët Trôøi, giaû söû traùi ñaát quay quanh Maët Trôøi 
theo quyõ ñaïo troøn, goïi M laø khoái löôïng Traùi Ñaát, M0 laø khoái löôïng Maët Trôøi. Traùi 
ñaát quay quanh Maët Trôøi do löïc haáp daãn cuûa Maët Trôøi leân Traùi Ñaát, löïc haáp daãn aáy 
laø : 
 F = GMM0/R2 (4.24) 
Löïc naøy ñoùng vai troø laø löïc höôùng taâm. Trong chuyeån ñoäng troøn ñeàu ta ñaõ 
bieát löïc höôùng taâm laø : 
 F = MV2/R (4.25) 
V : laø vaän toác cuûa Quaû ñaát treân quyõ ñaïo, lieân heä vôùi chu kyø quay T cuûa Quaû 
ñaát : 
 V = 2πR/T (4.26) 
Suy ra : GMM0/R2 = M(2πR)2/RT2 (4.27) 
Suy ra khoái löôïng Maët Trôøi : 
 M0 = 4π2.R3/T2G 
Tính cuï theå baèng soá ta ñöôïc M0 ≈ 2.1030kg. 
4.3.2 Tröôøng haáp daãn 
Ñeå giaûi thích löïc haáp daãn, ngöôøi ta cho raèng chung quanh moät vaät coù khoái 
löôïng toàn taïi moät tröôøng haáp daãn, töông töï chung quanh moät vaät mang ñieän tích 
toàn taïi ñieän tröôøng. 
Baát kyø moät vaät naøo coù khoái löôïng ñaët taïi moät vò trí trong khoâng gian cuûa moät 
tröôøng haáp daãn moät vaät khaùc, ñeàu chòu taùc duïng cuûa löïc haáp daãn. Tröôøng haáp daãn 
cuûa Quaû ñaát chính laø troïng tröôøng cuûa noù. 
Ñaïi löôïng ñaëc tröng cho tröôøng haáp daãn laø cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi 
moät ñieåm trong khoâng gian. Xeùt moät chaát ñieåm khoái löôïng m, cöôøng ñoä haáp daãn taïi 
moät ñieåm trong khoâng gian caùch chaát ñieåm m moät khoaûng r ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : 
m H
r
 m’ ru
r 
 Hình 4.5
Ñaët vaøo tröôøng haáp daãn cuûa m moät chaát ñieåm khoái löôïng m’ caùch m moät 
khoaûng r. löïc haáp daãn do m taùc duïng leân m’ laø : 
 r2 ur
'mmGF r
r −= 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 63 - 
U
r
r laø vector ñôn vò coù phöông truøng vôùi ñöôøng thaúng noái mm’ vaø chieàu 
höôùng ra xa m. 
Cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi ñieåm P nôi ñaët m’ kyù hieäu H
r
, coù ñoä lôùn: 
 H = F/m’ = Gm/r2 (4.28) 
Bieåu dieãn baèng vector : 
 'm
FH
rv = r2 ur
mG r−= (4.29) 
Bieåu thöùc (4.29) laø vector cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi ñieåm P do m gaây ra. 
Bieát ñöôïc H
r
 ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc löïc haáp daãn F
r
 taùc duïng leân m’ taïi moät vò trí r 
caùch m : 
 = m’F
r
H
r
 (4.30) 
Ñôn vò cuûa H laø N/kg hoaëc m/s2 coù cuøng thöù nguyeân vôùi gia toác. 
Taïi moät ñieåm P trong khoâng gian, neáu coù nhieàu tröôøng haáp daãn do nhieàu 
chaát ñieåm gaây ra thì cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn toång coäng baèng toång vector cöôøng ñoä 
tröôøng haáp daãn do töøng chaát ñieåm taïo neân : 
 = H
r
H
r
1 + H
r
2 +  + H
r
n = -G∑
i
i2
i
i u
r
'm r
 (4.31) 
Do ñoù löïc haáp daãn toång coäng seõ laø : 
F
r
 = m’ H
r
1 + m’ H
r
2 +  + m’ H
r
n = m’ H
r
 (4.32) 
a) Baûo toaøn moment ñoäng löôïng trong tröôøng haáp daãn : 
Xeùt moät chaát ñieåm khoái löôïng m ñaët trong tröôøng haáp daãn cuûa moät chaát 
ñieåm khoái löôïng M ñaët taïi ñieåm O coá ñònh laø goác toïa ñoä : 
 L
r
 O F
r
 P
r
 Hình 4.6
 m 
AÙp duïng ñònh lyù moment ñoäng löôïng aùp duïng cho chaát ñieåm m ñoái vôùi ñieåm 
O, ta coù : 
 Frdt
Ld
X
rr
r
= (4.33) 
Löïc luoân luoân höôùng taâm do ñoù F
r
dt
Ld
r
= 0 (4.34) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 64 - 
Suy ra khoâng ñoåi. L
r
Vaäy khi moät chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn cuûa moät chaát 
ñieåm M thì moment ñoäng löôïng cuûa m laø moät ñaïi löôïng baûo toaøn, töùc laø giaù trò cuûa 
moment ñoäng löôïng khoâng ñoåi vaø vector L
r
 coù phöông, chieàu cuõng khoâng ñoåi trong 
khoâng gian. Chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong moät maët phaúng, maët phaúng ñoù thaúng goùc 
vôùi vector L
r
. 
Quaû ñaát chuyeån ñoäng chung quanh Maët trôøi döôùi taùc duïng cuûa löïc haáp daãn 
cuûa Maët trôøi neân quyõ ñaïo cuûa Quaû ñaát laø moät quyõ ñaïo phaúng. Bieåu thöùc moment 
ñoäng löôïng cuûa Quaû ñaát cho bôûi : 
 L = mr2ω = const (4.35) 
Chöùng toû khi chuyeån ñoäng gaàn maët trôøi (r giaûm), vaän toác goùc ω caøng lôùn vaø 
ngöôïc laïi. 
b) Theá naêng haáp daãn 
Ta bieát raèng löïc haáp daãn thuoäc loaïi löïc xuyeân taâm, chæ phuï thuoäc khoaûng 
caùch, vì vaäy theá naêng haáp daãn ñöôïc xaùc ñònh qua bieåu thöùc : 
 rur
EpF r
r
∂
∂−= (4.36) 
Vôùi laø vector ñôn vò coù chieàu ngöôïc chieàu vôùi rU
r
F
r
. 
Xeùt moät chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn do M taïo ra, di 
chuyeån töø A ñeán B nhö hình veõ : A 
 P H 
 rr F
r
 O rdr rr + Q 
 B 
α
Coâng cuûa löïc trong chuyeån dôøi vi phaân F
r
QPSd
rr = 
dA = F
r
PQ.FSd
rr = = F.PQ.cosα 
Töø hình veõ ta coù : PQ.cosα = - HP ; ( HP laø ñoä daøi ñaïi soá, chieàu döông OÆ 
P). 
Vaäy dA = - F.PH (4.37) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 65 - 
Ñaët rOP = , drrOQOH +=≈ 
Vaø drrdrrOPOHPH =−+=−= 
 dA = - Fdr = - dr
r
MmG 2 
Coâng cuûa löïc F trong chuyeån dôøi m töø A ñeán B : 
 ∫ ∫ −=−= B
A
B
A
r
r
r
r
2AB drr
MmGFdrA 
AB
AB r
MmG
r
MmGA −= 
 )r
MmG(
r
MmGA
BA
AB −−−= (4.38) 
Coâng cuûa löïc haáp daãn F chæ phuï thuoäc vò trí ñieåm ñaàu A vaø ñieåm cuoái B. vaäy 
tröôøng haáp daãn cuûa M laø moät tröôøng theá. 
Theo ñònh nghóa cuûa theá naêng, ta coù theå xaùc ñònh theá naêng cuûa chaát ñieåm m 
trong tröôøng haáp daãn cuûa M taïi vò trí A : 
 Ep(A) = - G Cr
Mm
A
+ (4.39) 
Taïi B : 
 Ep(B) = - G Cr
Mm
B
+ (4.40) 
Thoûa maõn heä thöùc : 
 ABA = Ep(A) – Ep(B) 
Toång quaùt, theá naêng cuûa m taïi moät vò trí caùch O moät khoaûng r : 
 Ep(r) = -G Cr
Mm + (4.41) 
C laø haèng soá tuøy yù, coù giaù trò baèng theá naêng taïi voâ cuøng : 
 Ep(∞) = C 
Tröôøng haáp daãn laø moät tröôøng theá, do ñoù khi m chuyeån ñoäng, cô naêng baûo 
toaøn : 
 E = Ep + Ek
E = - G 2
mv
r
Mm 2+ = const , choïn C = 0 (4.42) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 66 - 
4.4 Chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn 
Ta bieát raèng, tröôøng haáp daãn laø moät tröôøng theá. Do ñoù, cô naêng baûo toaøn theo 
(4.42). ta coù cô naêng cuûa chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng theá gaây bôûi chaát 
ñieåm M laø : 
 r
MmGmv
2
1E 2 −= (4.42’) 
Neáu m chuyeån ñoäng vôùi quyõ ñaïo troøn thì löïc höôùng taâm seõ laø : 
F=mv2/r , vôùi r : khoaûng caùch töø m ñeán M. 
Ta coù : 2
2
r
MmG
r
mv = 
Do ñoù : r2
MmG
2
mv2 = 
(4.42) trôû thaønh : 
 E = -GMm/2r (4.43) 
(4.43) chöùng toû raèng cô naêng coù giaù trò aâm. Toång quaùt, caùc chuyeån ñoäng 
trong tröôøng haáp daãn vôùi quyõ ñaïo laø elipse thì cô naêng coù giaù trò aâm. Trong tröôøng 
hôïp cô naêng E>0 : Tröôøng hôïp naøy Ek>Ep. 
xeùt khi r tieán ñeán voâ cuøng. Luùc naøy töø (4.42) ta coù : 
 E = mv2∞/2 
Hay v∞ = m/E2 (4.44) 
Quyõ ñaïo cuûa m baây giôø laø moät hypecbol. 
Trong tröôøng hôïp E = 0 : tröôøng hôïp naøy, taïi voâ cuøng, chaát ñieåm m coù vaän 
toác trieät tieâu (v∞=0) quyõ ñaïo cuûa m laø moät parabol (xem hình). 
E0 E=0 
0 r 0 r 0 r 
 Ek Ek 
 Ek 2p r
MmGE −= 
 Hình 4.8 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 67 - 
 m 
 m m 
 M M 
 M 
Elipse Hyperbol Parabol 
Tröôøng hôïp ñaëc bieät ñoái vôùi vieäc phoùng veä tinh ôû Quaû ñaát : taïi moät ñieåm ôû 
ñoä cao h so vôùi maët ñaát, veä tinh ñöôïc phoùng ra vôùi vaän toác ban ñaàu v0 vuoâng goùc 
vôùi ñöôøng thaúng ñöùng. Tuøy thuoäc vaøo cô naêng E cuûa veä tinh maø noù seõ coù quyõ ñaïo 
elipse, hyperbol hay parabol, trong ñoù taâm Quaû ñaát laø moät tieâu ñieåm cuûa quyõ ñaïo. 
Goïi v0 laø vaän toác ban ñaàu cô naêng cuûa veä tinh seõ laø, theo (4.42) : 
 E = mv20/2 + (- G hR
Mm
+ ) 
 v0 
 E>0 Hyperbol 
 E=0 Parabol 
 Hình 4.9 E<0 Elipse
* Vaän toác vuõ truï caáp I : 
Giaû söû veä tinh ñöôïc phoùng ôû moät ñoä cao khoâng lôùn so vôùi baùn kính Quaû ñaát 
h << R ( vôùi R coù giaù trò trung bình côõ : 6378km) ta coù theå xem baùn kính quõy ñaïo 
cuûa veä tinh baèng baùn kính R cuûa Quaû ñaát. Vaän toác vI cuûa veä tinh trong chuyeån ñoäng 
troøn coù lieân heä vôùi gia toác höôùng taâm : 
 a0 = g0 = v2/R (4.45) 
suy ra vI = Rg0 ; laáy g0 = 9,8m/s
2
Thay soá ta thu ñöôïc : 
 vI = 7,9 km/s ≈28.440 km/h 
Neáu vaän toác ban ñaàu v0 < vI veä tinh seõ rôi xuoáng Quaû ñaát. 
Neáu v0 > 7,9 km/s (nhöng nhoû hôn vaän toác caáp hai vII) thì veä tinh seõ chuyeån 
ñoäng xung quanh Quaû ñaát theo quõy ñaïo elipse. 
* Vaän toác vuõ truï caáp II : 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 68 - 
Trong tröôøng hôïp naøy cô naêng cuûa veä tinh E ≥ 0; vaãn giaû söû raèng veä tinh 
xuaát phaùt taïi nôi caùch taâm Quaû ñaát moät khoaûng R baèng baùn kính Quaû ñaát, ta coù : 
 mV20/2 + (- GMm/R) = mV2∞/2 + (-GMm/∞) 
Vì GMm/∞ = 0 ; mV2∞/2 ≥ 0, do ñoù : 
 mV20/2 ≥ GMm/R 
Theo (4.19) : g0 = GM/R2
Do ñoù : V0 ≥ 02Rg (4.46) 
Giaù trò toái thieåu cuûa V0 chính laø vaän toác vuõ truï caáp II. 
 VII = Rg02 (4.47) 
Giaù trò cuï theå