Giáo án phụ đạo Môn Toán 11 đầy đủ

 3a
∆ > 
− > > 
⇔ ⇔ − > ⇔∆  > < − 
− >
*Bài toán 3: Cho hàm số : 
2
(2), ( , 0)ax bx cy a d
dx e
+ +
= ≠
+
. 
a)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên ( ; )α−∞ . 
b)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên ( ; )α +∞ . 
c)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên ( ; )α β . 
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
41 
41 
Lời giải thường gặp Lời giải ñề nghị 
Txñ: \ eD R
d
− 
=  
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f xy
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i≥ ⇔ ≥ 
a)Hàm số(2) ñồng biến trong khoảng 
( ; )α−∞ 
( ; ]
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
− ≥
⇔ 
 ≥ ∀ <
− ≥
⇔ 
≤

b)Hàm số(2) ñồng biến trong khoảng 
( ; )α +∞ 
[ ; )
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
α
+∞
− ≤
⇔ 
 ≥ ∀ >
− ≤
⇔ 
≤

Txñ: \ eD R
d
− 
=  
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f xy
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a)Hàm số (2) ñồng biến trong 
khoảng ( ; )α−∞ 
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞
− ≥
⇔ 
 ≥ ∀ <
0
0
0( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
I
f
S
α
α
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >
 ≥

− >
c) Hàm số (2) ñồng biến trong khoảng 
( ; )α β 
( )
( )
[ ; ]
;
( ) ( ), ( ; )
;
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α β
α β
α β
α β
− ∉
⇔ 
 ≥ ∀ ∈
− ∉
⇔ 
≤

b)Hàm số (2) ñồng biến trong 
khoảng ( ; )α +∞ 
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
− ≤
⇔ 
 ≥ ∀ >
0
0
0( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >
 ≥

− <
TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x ≥ không ñưa ñược về 
dạng (i) thì ta ñặt : t = x - α 
Khi ñó bpt: ( ) 0f x ≥ trở thành : ( ) 0g t ≥ , với: 
2 2( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dcα α α= + + + + + −
 a)Hàm số(2) ñồng biến trong khoảng 
( ; )α−∞ 
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
− ≥
⇔ 
 ≥ ∀ <
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
42 
42 
0
0
0( )
0
0
0
a
aii
S
P
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >
 >
 ≥
c) Hàm số (2) ñồng biến trong 
khoảng ( ; )α β 
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≥ ∀ ∈
− ∉
⇔ 
 ≥ ∀ ∈
(III)
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
α
α
β
β
α
β


>
 ∆ ≤

>

 ≥

− < ⇔  ≥
− >
 ∆ >

<
 ≥
 ≥
b)Hàm số(2) ñồng biến trong khoảng 
( ; )α +∞ 
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t iii
α
− ≤
⇔ 
 ≥ ∀ >
0
0
0( )
0
0
0
a
aiii
S
P
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >
 <
 ≥
*Nhận xét: ðây là bài toán thường xuất hiện trong các ñề thi tuyển sinh ñại học với cách làm 
như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng 
kiến thức lien quan ñến ñinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai ñã ñược giảm tải 
VD9. Cho hàm số: 
22 3 (2).
1
x x my
x
− +
=
−
a)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên ( ; 1)−∞ − . 
b)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên (2; )+∞ . 
c)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) ñồng biến trên (1;2) . 
Lời giải thường gặp Lời giải ñề nghị 
Txñ : D = R 
2
2 2
2 4 3 ( )
' .( 1) ( 1)
x x m f xy
x x
− + −
= =
− −
a)Hàm số (2) ñồng biến trên 
( ; 1)−∞ − 
' 0, ( ; 1)
( ) 0, 1
y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
⇔ ≥ ∀ < −
Txñ : D = R 
2
2 2
2 4 3 ( )
' .( 1) ( 1)
x x m f xy
x x
− + −
= =
− −
Ta có: 2( ) 0 2 4 3f x m x x≥ ⇔ ≤ − + 
ðặt : 2( ) 2 4 3g x x x= − + 
 '( ) 4 4g x x⇒ = − 
a)Hàm số (2) ñồng biến trên ( ; 1)−∞ − 
( ; 1]
' 0, ( ; 1) ( )
−∞ −
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤y x m Min g x 
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
43 
43 
0
' 0
0
' 0
( 1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >

− ≥

− − >
9m⇔ ≤ 
Kết luận: Vậy 9m ≤ thì hàm số (2) 
ñồng biến trên ( ; 1)−∞ − 
b)Hàm số (2) ñồng biến trên 
(2; )+∞ 
' 0, (2; )
( ) 0, 2
y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
⇔ ≥ ∀ >
0
' 0
0
' 0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
 >
 ∆ ≤
 >
⇔ ∆ >
 ≥

− <
1
1
3 0
m
m
m
≤
⇔ >
− ≥
3m⇔ ≤ 
Kết luận: Vậy 3m ≤ thì hàm số 
(2) ñồng biến trên (2; )+∞ 
c)Hàm số (2) ñồng biến trên (1;2) 
' 0, (1;2)
( ) 0, (1;2)
y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈
⇔ ≥ ∀ ∈
' 0
' 0
(1) 0
2.1 0
(2) 0
2.2 0
f
S
f
S
∆ ≤
 ∆ >
  ≥⇔ 
− < 
 ≥ − >
1
1
1 0
0 0
3 0
2 0
m
m
m
m
≤

>
  − ≥⇔  < 

− ≥ − >
1m⇔ ≤ 
Kết luận: 
Vậy 1m ≤ thì hàm số (2) ñồng 
biến trên (1;2) 
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ ñối với các bài toán có thể 
ứng dụng ñạo hàm ñể giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều. 
*Bài toán 4: Cho hàm số : 
2
(2), ( , 0)ax bx cy a d
dx e
+ +
= ≠
+
. 
a)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )α−∞ . 
b)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )α +∞ . 
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
44 
44 
c)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )α β . 
Lời giải thường gặp Lời giải ñề nghị 
Txñ: \ eD R
d
− 
=  
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f xy
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i≤ ⇔ ≥ 
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
( ; )α−∞ 
( ; ]
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
− ≥
⇔ 
 ≥ ∀ <
− ≥
⇔ 
≤

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
( ; )α +∞ 
[ ; )
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
α
+∞
− ≤
⇔ 
 ≥ ∀ >
− ≤
⇔ 
≤

Txñ: \ eD R
d
− 
=  
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f xy
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a)Hàm số (2) nghịch biến trong 
khoảng ( ; )α−∞ 
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
− ≥
⇔ 
 ≤ ∀ <
0
0
0( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
I
f
S
α
α
 <
 ∆ ≤
 <
⇔ ∆ >
 ≤

− >
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ; )α β 
( )
( )
[ ; ]
;
( ) ( ), ( ; )
;
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α β
α β
α β
α β
− ∉
⇔ 
 ≥ ∀ ∈
− ∉
⇔ 
≤

b)Hàm số (2) nghịch biến trong 
khoảng ( ; )α +∞ 
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
− ≤
⇔ 
 ≤ ∀ >
TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x ≤ không ñưa ñược về 
dạng (i) thì ta ñặt : t = x - α 
Khi ñó bpt: ( ) 0f x ≤ trở thành : ( ) 0g t ≤ , với: 
2 2( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dcα α α= + + + + + − 
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )α−∞ 
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
− ≥
⇔ 
 ≤ ∀ <
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
45 
45 
0
0
0( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
 <
 ∆ ≤
 <
⇔ ∆ >
 ≤

− <
0
0
0( )
0
0
0
a
aii
S
P
 <
 ∆ ≤
 <
⇔ ∆ >
 >
 ≥
c) Hàm số (2) nghịch biến trong 
khoảng ( ; )α β 
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≤ ∀ ∈
− ∉
⇔ 
 ≤ ∀ ∈
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )α +∞ 
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t iii
α
− ≤
⇔ 
 ≤ ∀ >
(III)
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
α
α
β
β
α
β


<
 ∆ ≤

<

 ≤

− < ⇔  ≤
− >
 ∆ >

>
 ≤
 ≤
0
0
0( )
0
0
0
a
aiii
S
P
 <
 ∆ ≤
 <
⇔ ∆ >
 <
 ≥
VD10. Cho hàm số: 
2 22 3 (2).
2
x mx my
m x
− +
=
−
 a)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)−∞ . 
 b)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (2) nghịch biến trên (1; )+∞ . 
Lời giải thường gặp Lời giải ñề nghị 
Txñ : D = R\{2m} 
2 2
2 2
4 ( )
' .( 2 ) ( 2 )
x mx m f xy
x m x m
− + −
= =
− −
a)Hàm số (2) nghịch biến trên 
( ;1)−∞ 
' 0, ( ;1)
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x I
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>
⇔  ≤ ∀ <
Txñ : D = R\{2m} 
2 2
2 2
4 ( )
' .( 2 ) ( 2 )
x mx m f xy
x m x m
− + −
= =
− −
ðặt : t = x-1 
Khi ñó bpt: ( ) 0f x ≤ trở thành : 
2 2( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m= − − − − + − ≤ 
 a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)−∞ 
 Phụ ñạo Toán 11 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trưòng THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
46 
46 
' 0
' 0( ) (1) 0
2.1 0
I f
S
∆ =
 ∆ >⇔  ≤

− >
2
0
0
4 1 0
4 2 0
m
m
m m
m
=
 ≠⇔ 
− + − ≤

− >
0
2 3
m
m
=
⇔ 
≥ +
Kết luận: Với 2 3m ≥ + thì hàm 
số (2) nghịch biến trên ( ;1)−∞ 
' 0, ( ;1)
2 1
( ) 0, 0 ( )
y x
m
g t t i
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>
⇔  ≤ ∀ <
' 0
' 0( )
0
0
i
S
P
∆ =
 ∆ >⇔  >
 ≥
2
0
0
4 2 0
4 1 0
m
m
m
m m
=

 ≠⇔ 
− >

− + ≥
0
2 3
m
m
=
⇔ 
≥ +
Kết luận: Với 2 3m ≥ + thì hàm số (2) 
nghịch biến trên ( ;1)−∞ 
b)Hàm số (2) nghịch biến trên 
(1; )+∞ 
' 0, (1; )
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x II
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
<
⇔  ≤ ∀ >
' 0
' 0( ) (1) 0
2.1 0
II f
S
∆ =
 ∆ >⇔  ≤

− <
2
0
0
4 1 0
4 2 0
m
m
m m
m
=
 ≠⇔ 
− + − ≤

− <
2 3m⇔ ≤ − 
Kết luận: Với 2 3m ≤ − thì hàm 
số (2) nghịch biến trên (1; )+∞ 
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )+∞ 
' 0, (1; )
2 1
( ) 0, 0 ( )
y x
m
g t t ii
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
<
⇔  ≤ ∀ >
' 0
' 0( )
0
0
ii
S
P
∆ =
 ∆ >⇔  <
 ≥
2
0
0
4 2 0
4 1 0
m
m
m
m m
=

 ≠⇔ 
− <

− + ≥
2 3m⇔ ≤ − 
Kết luận: Với 2 3m ≤ − thì hàm số (2) 
nghịch biến trên (1; )+∞ 
VD11. Chứng minh hàm số 1y
x
= nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh nhưng trên tập xác ñịnh 
thì nó không ñồng biến