Giáo án Ôn thi học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 1: Tập hợp, cách ghi số tự nhiên - Nguyễn Thị Thu

à 2940 và BCNN của chúng 
 là 210.
=========================================================== Ngày giảng : 
BUỔI 12: CHUYÊN ĐỀ: BỘI CHUNG – BCNN
I. Mục tiêu 
- Nắm được một số kiến thức nâng cao về bội chung, bội chung nhỏ nhất
 + Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng.
 + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng.
- Rèn luyện kỹ năng giảI bài tập tổng hợpBài 18. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3,4,5.
II, Nội dung : 
1. Chứng minh rằng hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.
	Giải:
	Ta có n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp => USCLN (n, n + 1) = d. Ta thấy n d và (n + 1) d nên [(n + 1) – n] d hay 1 d .
	Vậy (n, n + 1) = 1 nên n và n + 1 nguyên tố cùng nhau. 
2. Chứng minh rằng 2752 và 221 là hai số nguyên tố cùng nhau.
	Giải:
	2752 và 221 nguyên tố cùng nhau khi USCLN của chúng là d = 1. Vậy ta tìm USCLN của 2752 và 221. 
	Theo thuật toán Ơ Cơ lit ta có: 	
12
2
4
1
3
5
2752
221
100
21
16
5
1
100
21
16
5
1
0
USCLN (2752, 221) = 1 nên 2752 và 221 nguyên tố cùng nhau.
	3. Chia 7600 và 629 cho một số nguyên N thì các số dư lần lượt là 4 và 5. Tính N.
	Giải:
	N > 5 (vì số dư là 4 và 5)
	7600 – 4 = 7596 N
	629 – 5 = 624 N
Vậy N là USC của 7596 và 624 nên nó cũng là US của USCLN của 7596 và 624.
Ta tìm USCLN của 7596 và 624 là 12. Các Ú của 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Mà N > 5 nên N = 6 hay N = 12.
4. Tìm hai số nguyên, biết tổng số của chúng là 192 và USCLN là 24 ?
	Giải :
	Gọi A và B là là hai số phải tìm, a và b là các thương số của chúng với 24. Ta có A = 24a ; b = 24b. Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = 8.
Mặt khác theo định lý thì : 
	Vậy:	a = 1 => 7 = 7
	a = 2 => b = 6 (không hợp lý)
	a = 3 => b = 5
	a = 4 => b = 4 (không hợp lý)
Do đó số phải tìm là: 	a = 1, b = 7 => A = 24 ; B = 168
	a = 3, b = 5 => A = 72 ; B = 120 
5. Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số ấy chia hết cho 48.
	Giải:
	Gọi 2n, 2n + 2, 2n + 4 là ba số chẵn liên tiếp. 
Ta sẽ có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2).
n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) 8.
	Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) 48
6. Tìm BSCNN của 3080 và 1100 ?
	Giải :
	* Ta tìm theo cách 1 :
2
1
4
3080
1100
880
220
880
220
0
	=> d = (3080, 1100) = 220
	Vậy : D = 
7. Tìm hai số A và B, biết USCLN bằng 6 và BSCNN bằng 120.
	Giải :
	Gọi BSCNN của A và B là D, USCNN của A và B là d. Ta sẽ có : A.B = D.d
Nếu 
Như vậy a và b xẩy ra các trường hợp sau:
Như vì (a, b) = 1 nên chỉ có thể 
Suy ra: 
8. Tìm một số nhỏ hơn 400 mà khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1. Khi chia cho 7 thì không còn dư.
	Giải:
	N – 1 = BSC của 2, 3, 4, 5, 6. Như vậy N = BS của BSCNN (2,3,4,5,6) = 60.
Số đó có thể là : 61, 121, 181, 241, 301, 361. Căn cứ theo điều kiện là N 7 nên ta có N = 301
9. Tìm hai số biết tổng của chúng là 288 và USCLN của chúng là 24.
Giải:
	Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử ). Ta có a + b = 288 và (a,b) =24. Vì 24 là ƯSCLN của a và b nên ta có thể viết a = 24a,, b = 24 b, trong đó a, và b, là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và . Do đó :
12 chỉ có thể là tổng của hai cặp số nguyên tố cùng nhau: 1 và 11, 5 và 7.
Hai số phải tìm là : 24 và 264, 120 và 168.
10. Tìm hai số biết tích của chúng là 4320 và BSCNN của chúng là 360.
	Giải:
	Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử ), gọi d = (a, b) nên a = a’.d, 
b = b’.d trong đó (a’,b’) = 1. Ta đã biết:
	[a,b] = . Từ đó ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d.
Theo đầu bài, ta suy ra: 
Đảo lại, nếu (a’,b’) = 1 và a’.b’ = 30 thì các số a = a’.12 và b = b’.12 có tích bằng 4320 và có BCNN là 360.
	Vậy chỉ cần tìm hai số a’. b’ nguyên tố cùng nhau 
a’
b’
a
b
1
2
3
5
30
15
10
6
12
24
36
60
360
180
120
72
	Vậy các cặp số phải tìm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72.
11. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu?
	Giải:
	Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: 
A = 4q1 + 3
	 = 17q2 + 9 
	= 19q3 + 13	 (q1, q2, q3 )
Nếu ta thêm vào số đã cho 25 thì ta lần lượt có:
	 A + 25 = 4q1 + 3 + 25 = 4.(q1 + 7)
	= 17q2 + 9 + 25) = 17.(q2 + 2)
	= 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)
Như vậy A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19. Nhưng 4, 17, 19 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau, suy ra A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292.
	Vậy A + 25 = 1292.k	(k = 1, 2, 3, 4,.). 
Suy ra A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267.
Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư trong phép chia số đã cho A cho 1292.
12. Tìm hai số biết hiệu giữa BSCNN và ƯSCLN của chúng bằng 18.
	Giải:
	Gị hai số phải tìm là a và b, ƯSCLN của a và b là d. Ta có a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyên tố cùng nhau). BCNN của a và b là a’b’d. Theo đầu bài ta có: a’b’d – d = 18.
	(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = .
	Vì a’b’ là số tự nhiên nên d phải là ước của 18. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 
d
a’b’
a’
b’
a
b
1
19
19
1
19
1
2
10
10
5
1
2
20
10
2
4
3
7
7
1
21
3
6
4
4
1
24
6
9
3
3
1
27
9
18
2
2
1
36
18
	13. Tìm tất cả các số lớn hơn 10000 nhưng nhỏ hơn 15000 mà khi chia chúng cho 393 cũng như khi chia chúng cho 655 đều được số dư là 210.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là A. Theo đầu bài ta có: 10000 < A < 15000	(1)
	A = 393q1 + 210	(2)
	A = 655q2 + 210	(3)	(q1, q2 N).
	Từ (2) và (3) ta suy ra A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965.
	Do đó A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210
	Từ (1) suy ra q chỉ có thể bằng 5, 6, 7.
	Với q = 5 thì A = 1965.5 + 210 = 10035.
Với q = 6 thì A = 1965.6 + 210 = 12000.
Với q = 7 thì A = 1965.7 + 210 = 13965.
	Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965.
14. Cho các số tự nhiên khác 0 là a, b, c sao cho:
 p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b.
	Chứng minh rằng hai trong các số p, q, r phải bằng nhau.
	Giải:
	Trong ba số tự nhiên a, b, c phải có ít nhất hai số cùng tính chẵn, lẻ. Giả sử hai số đó. Vì bc cùng tính chẵn lẻ với b nên p = bc + a chẵn, nhưng p lại là số nguyên tố, do đó p = 2, suy ra b = a = 1. Khi đó q = ab + c = 1 + c = ca + 1 = ca + r. Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là a và c hoặc b và c thì cũng lý luận tương tự, ta suy ra trong ba số nguyên tố p, q, r phải có hai số bằng nhau.
Bài tập vè nhà:
Bài 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3, cho 4, cho 5 có số dư theo thứ tự là 1;3;1.
Bài 2. Cho ƯCLN(a,b)= 1. CMR
ƯCLN(a+b,ab) = 1.
Tìm ƯCLN(a+b, a-b).
Bài 3. Có 760 quả và cam, vừa táo, vừa chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số táo nhiều hơn số cam 40 quả. Số cam, số táo, số chuối được chia đều cho các bạn trong lớp. Hỏi chia như vậy thì số học sinh nhiều nhất của lớp là bao nhiêu? mỗi phần có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 4. a) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8. tìm số lớn.
b) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96, tìm số nhỏ.
Bài 5. Tìm hai số tự nhiên biết rằng :
Hiệu của chúng bằng 84,ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.
Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12.
Bài6. Tìm hai số tự nhiên biết rằng:
Tích bằng 720 và ƯCLN bằng 6.
Tích bằng 4050 và ƯCLN bằng 3.
Bài 7. CMR với mọi số tự nhiên n , các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
7n +10 và 5n + 7
2n +3 và 4n +8.
========================================================
Ngày giảng : 
BUỔI 13: CHUYÊN ĐỀ :
CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ NGUYÊN
A) Kiến thức Bổ sung. 
1. với a, b Z bao giờ củng có một và chỉ một trong ba trường hợp a = b hoặc a > b hoặc a < b.
2. Với a, b, c Z nếu a < b, b < c thì a < c (tính chất bắc cầu)
3. Kí hiệu “ Hoặc”; kí hiệu “ và”
 nghĩa là A hoặc B
 nghĩa là A và B
Ví dụ: x > 3 hoặc x < -3 là 
x > -5 và x < 5 viết là -5 <x < 5 hay 
B. Bài tập: 
Bài tập 1. Tìm số nguyên x biết.
 a) 5 – x = 17 –(-5) ; 	 b) x – 12 = (-9) –(-15) ; 
 c) 9 –25 = (-7 – x ) – (25 - 7)	 d) 11 + (15 - 11 ) = x – (25 - 9)
 e) 17 – {-x – [-x – (-x)]}=-16 g) x + {(x + 3 ) –[(x + 3) – (- x - 2)]} = x
Bài tập 2. Tính các tổng sau một cách hợp lý:
 a) 2075 + 37 – 2076 – 47 ; b) 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17
 c) – 7624 + (1543 + 7624) ; d) (27 – 514 ) – ( 486 - 73)
Bài tập 3. Rút gọn các biểu thức.
x + 45 – [90 + (- 20 ) + 5 – (-45)] ; b) x + (294 + 13 ) + (94 - 13)
Bài tập 4. Đơn giản các biểu thức.
 a) – b – (b – a + c) ;	 b) –(a – b + c ) – (c - a) 
 c) b – (b + a – c ) ;	 d) a – (- b + a – c) 
Bài tập 5. Bỏ ngoặc rồi thu gọn các biểu thức sau.
(a + b ) – (a – b ) + (a – c ) – (a + c)
(a + b – c ) + (a – b + c ) – (b + c - a) – (a – b – c)
Bài tập 6. Xét biểu thức. N = -{-(a + b) – [(a – b ) – (a + b)]}
Bỏ dấu ngoặc và thu gọn
Tính giá trị của N biết a = -5; b = -3.
Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết.
 a) b) 
Bài tập 8. Chứng minh đẳng thức
(- a + b + c) + (b + c - 1) = (b – c + 6 ) –(7 – a + b )
Bài tập 9. Cho A = a + b – 5 B = - b – c + 1
 C = b – c – 4 D = b – a
Chứng minh: A + B = C + D
Bài tập 10. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao 5 cánh sao cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng 
Bài tập về nhà:
 -Bài tập 1. Mệnh đề sau đúng hay sai?
Nếu a < b thì 
(Để chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể mà mệnh đề sai. Một thí dụ như thế được gọi là một phản ví dụ)
Bài tập 2. Tìm x Z biết 
a) b) c) >4
Bài tập 3. Cho 
Tìm 
Bài tập 4. trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
Nếu a = b thì 
N