Giáo án dạy thêm Phương trình lượng giác

cho rồi sử dụng công thức cộng và cung phụ nhau đưa về pt cơ bản:
3)Luyện tập:
Bài Bài1: Giải các phương trình sau:
Bài Bài 2:Giải các phương trình sau:
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : ( m-1) sin9x+(3m-8)cos9x=13-2m 
Bài 4:
1) Chứng minh rằng 
	2) Cho ym= Tìm m để max ym đạt giá trị nhỏ nhất 
	3) Cho ym= Tìm m để (max ym)2 +(min ym) 2 =2
 4) u = , v = 
 Tìm m để maxu + min v =-6
Đáp án-bài4:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD và đáp số
1)đưa về hệ quả 3:
2)đưa về hệ quả 3:
3)Chia hai vế cho 2:
4)
5)chia hai vế cho 2Đặt t=
6)
7)
8) 
9)
10)
Số 4:
BàI 5:PHƯƠNG TRìNH ĐẳNG CấP
A.Các phương trình cơ bản:
B.phương pháp:
	1) Cách 1:Sử dụng công thức hạ bậc
	 Cách 2:Xét hai trường hợp
	Trường hợp 1:cosx=0 ta có hệ pt
	Chú ý:
	Trường hợp 2:	cosx 
	Chia hai vế cuả PT cho cos2x khác 0 ta được
	Đặt t=tanx,phương trình có dạng
	(a-d)t2+bt+c-d=0	(1a)
	Giải pt (1a) theo t suy ra 
	KN1:Có nghiệm to
	KN2:pt(1a) vô nghiệm suy ra pt(1) vô nghiệm
	2) Xét hai trường hợp
	Trường hợp 1: cosx=0
	Trường hợp 2:	cosx 
	Chia hai vế cuả PT cho cos3x khác 0
	3) Xét hai trường hợp
	Trường hợp 1: cosx=0
	Trường hợp 2:	cosx 
	Chia hai vế cuả PT cho cos3x khác 0
	4) Xét hai trường hợp
	Trường hợp 1: cosx=0
	Trường hợp 2:	cosx 
	Chia hai vế cuả PT cho cos4x khác 0
C.Luyện tập:
Bài 1:Giải các phương trình sau:
Bài 2:Giải các phương trình sau:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD và Đáp án:
1)	
2)	
3)	Đk: Chia hai vế của pt cho cosx	Đs:	
4)	Đs:
5)	
6)	
	Đs:
7)	Đk:	Quy đồng mẫu số đưa về pt cơ bản rồi chia hai vế của pt cho cos3x khác không
	Đsố:	
8) 	HD: 	Đs:
9)	Cách 1:	Đặt 
	Cách 2:	
	Đs:	
10)	Cách 1: Đặt 	Cách 2: 	
	Đs:	 
11)	Đs:	 
12)	Đs:	 
Số 5
BàI 6:PHƯƠNG TRìNH Đối xứng
A.Các phương trình cơ bản:
Pt cơ bản:
Hệ quả:
Chú ý:	
Phương pháp:
1)Đặt Đk:pt (1a) có nghiệm là 	
	Từ 
Khi đó pt(1) có dạng:	
Giải pt(1b) theo ẩn t và chọn nghiệm t=t0 thoả mãn đk 	 	
nếu pt(1b) không có nbghiệm tm đk thì pt(1) vô nghiệm
2)Đặt Đk:pt (2a) có nghiệm là 	
	Từ 
3) Đặt Đk:pt (3a) có nghiệm là 	Từ 
4)Đặt Đk:pt (4a) có nghiệm là 	
	Từ 
B.luyện tập:Giải các phương trình sau:
Đáp án
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD và Đáp án:
1)	
2)	HD:Đặt 	Đs:
3)	Đk:	Đs:
4)	
5) Pt vô nghiệm
6)	HD:	
7)	HD: Đặt 	Đs:	
8)	HD:Đặt 	Đs:	
9)	HD:
	Đs:	
10) 	HD:
	Pt(10) có dạng:
	Đs:	
Số 6
BàI 7:Phương trình lượng giác 
sử dụng công thức hạ bậc
	A.Chú ý
	1.Công thức hạ bậc
2.Hằng đẳng thức
3.ví dụ:
B.Luyện tập: Giải các phương trình sau:
Đáp số:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD-Đáp án:
1)	
2)	
3)	Đưa về ptb3 ẩn là sin2x
	Đs: 
4)	
5)	HD:
	Đs:	
6)	
7)	HD:
	Đs:	
8)	
9)	HD:	Đs:	
10)	
Số 7
Bài 8:	Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 
	và đổi biến số
A.Chú ý:
1	Đặt 	Đk:
2	Đặt 	Đk:
3	Đặt ;	
4	Đặt 	hoặc 	Đk:
5	Đặt 	hoặc 	Đk:	
6	Đặt ax+b=t chuyển phương trình ban đầu về pt của các hàm lượng giác 	chứa các cung t,2t,3t,...,kt nhờ công thức quy gọn góc.
Chú ý:Thường đặt ẩn phụ là biểu thức mà hệ số của x là nhỏ nhất
B.Luyện tập: Giải các phương trình sau:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD và Đáp án:
1)	C1 hạ bậc
	C2:Đặt rồi hạ bậc	Đs:
2)	Đặt 	Đs:	
3)	Đặt 	Đs:
4)	Đặt 	Đs: 
5)	Đặt 	Đs:
6)	Đặt 	Đs: 
7)	Đặt 3sinx+4cosx+1=t	Đs: 
8)	Đặt 	Đs: 
9)	Đặt 	Đs: 
10)	Đặt 	Đs: 
Số 8
Bài 9: Sử dụng kĩ thuật chặn k
	giải phương trình lượng giác
A.Chú ý:
1.	
2.	
3.	
4.	
5.	Đặt cosx= t hoặc sinx= t 	Đk:
6.	Đặt asinx+bcosx= t	Đk:
7.	Đặt f(x)= asin2x+bsinx + c = t	Đk:Minf(x)Maxf(x)
8.	Đặt f(x)= acos2x+bcosx+ c = t	Đk:Minf(x)Maxf(x)
B.Luyện tập: 
 Bài1:Giải các phương trình sau:	
Bài 2:Tìm các nghiệm nguyên của pt:	
Bài 3:Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt:	
Bài tập về nhà
Bài 1:Giải các phương trình sau:
*Bài 2:Tìm các nghiệm nguyên của pt:
*Bài 3:Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt:	
Đáp số:
	Bài 1:
	Bài 2:	
	Bài 3:
Số 9
Bài 10:Biến đổi phương trình lượng giác
thành phương trình tích
1.Phương pháp biến đổi tổng hiệu thành tích
	Chú ý:Công thức chuyển tổng, hiệu thành tích
	Vd1:Gpt:	sinx+sin2x+sin3x=0
	C1:áp dụng công thức nhân đôi và công thức nhân ba có chung sinx
	C2:sinx+sin3x=2sin2xcosx
	Đs:
	Vd2:Gpt:	cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
	C1:gom theo tổng (tổng hai góc bằng nhau)
	C2:gom theo hiệu (hiệu hai góc bằng nhau)
	Đs:
	Chú ý: chứa họ nghiệm 
	Vd3:Gpt:	sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
	Đs:
2.Phương pháp biến đổi tích thành tổng
	Chú ý:	1)Công thức biến đổi tích thành tổng
	2)
	3)
Vd4:Gpt:	sin4xsin7x=cos3xcos6x
	Đs:
Vd5:Gpt:	
	Đs:
Vd6:Gpt:	
	HD:
	Đs:
Vd7:Gpt	2cosxcos2xcos3x-7=7cos2x	(7)
	HD: pt(7) có dạng:2cos32x+cos22x-8cos2x-7=0
	Đs:
3.Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x,sin2x và cos2x 
Chú ý:	
Vd8:Gpt:	2sin3x-cos2x+cosx=0
	HD:cos2x=1-2sin2x;	sin2x=(1-cosx)(1+cosx)
	Đs:
Vd9:Gpt:	sin3x+cos3x=cos2x
	HD:cos2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)
	Đs:
Vd10:Gpt:	2cos3x+cos2x+sinx=0
	HD:cos2x=2cos2x-1;cos2x=(1-sinx)(1+sinx)
	Đs:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD-Đáp số:
	1)HD	C1:;	Đs:
	C2:áp dụng công thức nhân đôi và công thức nhân ba
	2)HD	Đs:
	3)Đs:	
	4)Đs:	HD:Đưa pt về ptb3 của hàm cos2x
	5)Đs:	
	6)Đs:	HD:
	7)Đs: HD:
	8)Đs:	HD:
	9)HD:	
	Đs:
HD:
	Đs:
Số 10
Bài 11:Phương pháp luận hệ số và phép biến đổi tổng hợp giảI phương trình lượng giác
1.Phương pháp luận hệ số:
	Chú ý:Ta thường gom theo nhóm mà hệ số của chúng bằng nhau 	 hoặc đối nhau
	Vd1:Gpt:	cos3x+cos2x+2sinx-2=0
	Hd:	cos2x=(1-sinx)(1+sinx)
	Vd2:Gpt:	cosx+cos3x+2cos5x=0
	Hd:	tách 2cos5x=cos5x+cos5x
	Vd3:Gpt:	3sin5x-5sin3x=0
	Hd:	5sin3x=3sin3x+2(3sinx-4sin3x)
	Vd4:Gpt:	sin5x-5sinx=0
2.Sử dụng các phép biến đổi tổng hợp:
	Chú ý: 
	Vd5:Gpt:	(2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx	(KD-2004)
	Vd6:Gpt:	1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
	Vd7:Gpt:	1+cosx-cos2x=sinx+sin2x
	Hd:	1-cos2x=2sin2x;nhân tử chung là:(sinx-cosx)
	Vd8:Gpt:	9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
	Hd:	cos2x=2cos2x-1;nhân tử chung là:(sinx-1)
	Vd9:Gpt:	1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0
	Vd10:Gpt: 2cos2x-sin2x=2(sinx+cosx)
Đáp số:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
HD-Đáp Số:
1)Hd:;	Đs:
2)Đs:
3)Đs:
4)Đs:
5)Hd:	Đs:
6)Hd:Pt(6)có dạng:
	Đs:
7)Hd:Pt(7):(1-cos2x)+sinx+(cos3x-cosx)-sin2x=0
	Đs:
8)Đs:
9)Hd:	Đs:
10)Hd:
	Đs:
11)Hd:	Đs:
12)Đs: 
Số11
Bài 12:phương trình lượng giác 
có dạng phân thức
Phương pháp chung:GPT 
	B1:Đặt đk có nghĩa cho pt:
	B2:GPT:	
	B3:Đối chiếu Đk
	B4:Kết Luận
	Chú ý:Khi giải phương trình phân thức ta thường biến đổi theo các hướng sau:
	1.pt có tanx và cotx ta thường thay 	 
	2.Nếu các số hạng có mặt trong pt có hệ số khác nhau ta sử dụng phương 	 pháp tách hệ số.
	3.Đưa về pt tích.
	Chú ý:
	4.Đưa về pt của cùng một hàm lg hoặc các dạng pt cơ bản.
	5.Đặt ẩn phụ đưa về pt đại số(chú ý đk của ẩn phụ)
	Ví dụ:
	6.Sử dụng công thức hạ bậc
	7.Đổi biến số (ax+b=t) đưa về các cung lg t,2t,3t,,kt
1)Sử dụng phương pháp thế: Gpt:
	B1:Đặt Đk có nghĩa cho pt:(Không cần giải Đk)
	B2:GPT: để tìm các họ nghiệm	
	B3:Thế nghiệm tìm được vào đk.(Có thể phải tách họ nghiệm )	
`	B4:Kết luận.
Vd1:Gpt:	
	Đk:
	Pt đã cho có dạng: tan3x=tanx
	Đcđk:
	Vậy pt đã cho có1 họ nghiệm:
Vd2:Gpt:
	Đcđk:
	Vậy pt đã cho có 1 họ nghiệm 
Vd3:Gpt:
	Chú ý:
	Đs:
Vd4:Gpt:	
	Đs:
Vd5:Gpt:
	Đs:ptvn
Vd6:Gpt:
	Chú ý:
	Đs:
Vd7:Gpt:
	Đk:
	Đs:
Vd8:Gpt:
	Chú ý: 
	Đk:
	Đs:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau
Đáp số:
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.ptvn
HD:
10.Hạ bậc	
11.
Số12
Bài 12:phương trình lượng giác 
có dạng phân thức(tiếp)
2)Sử dụng phương pháp hình học: Gpt:
	B1:Đặt Đk có nghĩa cho pt:
	B2:GPT: để tìm các họ nghiệm	
	B3:Kiểm tra đk:
	- Biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác khi đó ta 	 được tập các điểm 	C={C1,Cm}
	- Biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác khi đó ta 	 được tập các điểm D={D1;;Dn}
	- Lấy tập E=D\C={E1;;Er}(Loại đi các điểm của tập D thuộc tập C)
	B4:Kết luận nghiệm của pt là:
	(Tính theo chiều dương)
Vd1:Gpt:	(1)
	C1:Sử dụng phương pháp thế
	C2:Sử dụng phương pháp hình học
	Đk:
	Pt(1) có dạng:	cos2x(cos2x-sin2x-1)=0
	Đcđk:
	Họ nghiệm biểu diễn trên đường tròn lg bởi tập các điểm 	C={A,B,A',B'}
 Họ nghiệm biểu diễn trên đường tròn lg bởi 4 điểm 	A1,A2,A3,A4
	A1 là điểm ngọn của cung 
	A2 là điểm ngọn của cung 
	A3 là điểm ngọn của cung 
	A4 là điểm ngọn của cung 
	Họ nghiệm biểu diễn trên đường tròn lg bởi hai điểm A,A'
	Họ nghiệm biểu diễn trên đường tròn lg bởi hai điểm A2,A4
	Ta có A,A'C và A1,A2,A3,A4C
	Vậy pt đã cho có một họ nghiệm (có thể nói có 4 họ nghiệm)
Vd2:Gpt:
	Đs:	
	Vd3:Gpt: (KA-2006) 
	Đk:
	Đs:
3.Biến đổi đk theo một hàm số lượng giác và biến đổi nghiệm theo đk
Vd4:Gpt:(biến đổi đk theo một hàm lg và pp thế)
	Đk:	
	Đs:	
Vd5:Gpt:(KB-2006)(biến đổi nghiệm theo đk)
	Đk:	
	Đs:
 	VD6:Gpt: (Biến đổi đk và biến đổi nghiệm theo đk)
	Đk:
	Đs:
	Vd7:Gpt: (Biến đổi đk và biến đổi nghiệm theo đk)
	Đk:
	Đs:
	Vd8:Gpt: (Biến đổi đk và biến đổi nghiệm theo đk)
	Đk:
	HD:pt đã cho có dạng: 
	Đs: 
	Vd9:Gpt:	sin2x (cotx + tan2x ) =4cos2x (biến đổi nghiệm theo đk)
	Đk:
	Đs: 
	Vd10:Gpt: = 0	(PT tích)
	Đk:
Bài tập về nhà
 Giải các phương trình sau:
 Đáp số:
	1.
	2.
	3.
	4.
	5.
	6.ptvn
	7.HD Đs:
	8.
	9.Đk:	Đs:
	10.
	11.ptvn
	12.
Số 13
Bài 13:Phương trình lượng giác
Không mẫu mực
A.Chú ý:
	1.Các đại lượng không âm:
	2.(a=const)
	3.A1+A2+...+An=0	(1)	
	4.
	5.Vì 
	6.	Dấu = xảy ra 
	7. Dấu = xảy ra 
	8. Dấu = xảy ra 
	9. Dấu = xảy ra 
	10. 	 
	11.	 
	12. 	 
	13. 	 
	14.	
	15.BĐT: Côsi,Bunhiacốpsky
B.Luyện tập:
	Giải các phương trình sau:
1.	
2.
3.	
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
	Đáp số:
Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau:
Đáp số:
	Đs: 
Số 14
Bài 14: GTLN và GTNN cuả HàM Số
a.Chú ý:
	1)Đn:Cho hàm số y=f(x) xđ trên D nếu tồn tại số thực M sao cho
	Khi đó M được gọi là GTLN của hàm số f(x)
	Kí hiệu:	
	2) Đn:Cho hàm số y=f(x) xđ trên D nếu tồn tại số thực m sao cho
	Khi đó m được gọi là GTNN của hàm số f(x)
	Kí h