Giáo án dạy thêm Đại số 11 - Chương 3 - Bài 1: Phương pháp qui nạp toán học

CHƯƠNG 3 DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
VD VÀ BÀI TẬP
NỘI DUNG
t/c T có thể là đẳng thức; phép chia hết; bất đ.thức; 
chú ý: nếu pt có 2 nghiệm x1; x2 thì 
I. PP QUI NẠP TOÁN HỌC:
C/m mệnh đề P(n) có t/c T, với nÎN*.
b1. kiểm tra với n = 1; mệnh đề P(n) đúng.
b2. Giả sử m.đề đúng với n=k 1 (giả thiết qui nạp) tức là: P(k) đúng; ta c/m m.đề đúng với n = k + 1 tức là mệnh đề P(k+1) đúng.
Vậy mệnh đề P(n) đúng với nÎN*.
VD2: CMR, với nÎN* thì: un = (n3 – n) 3.
B1: với n = 1: ta có u1 = 1 – 1 =0 nên u1 3
B2: giả sử uk chia hết cho 3 tức là uk = (k3 – k) 3
Ta c/m: uk+1 = [(k+1)3 – (k+1)] 3
Ta có: uk+1 = [(k+1)3 – (k+1)] = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = k3 – k + 3(k2 + k ) = uk + 3(k2 + k ) 
Vì 
Vậy với nÎN* thì: un = (n3 – n) 3.
VD3: CMR, 
B1: với n = 2, ta có: 32 > 3.2 + 1 ( bất đ.thức đúng)
B2: giả sử bđt đúng khi n = k, tức là: 
Ta c/m: bđt đúng khi n = k+1 tức là: 
Từ gt qui nạp: 
Vậy .
II. CÁC VD:
Chú ý: (sgk)
VD1: CMR, với nÎN* thì: 
B1: với n = 1: ta có: m.đề đúng
B2: gỉa sử đẳng thức đúng khi n = k, tức là ta có: ; ta c/m đ.thức đúng khi n=k+1 tức là: 
Ta có: VT = 
 = 
Vậy với nÎN* thì: .
Bài 1a: CMR, với nÎN* thì: 
B1: với n = 1: đẳng thức đúng.
B2: giả sử đt (1) đúng khi n = k, tức là: , c/m đảng thức đúng khi n=k+1: 
Ta có VT= 
HD bài tập 1b,c.
Bài 2a:CMR, với nÎN* thì: un = (n3 +3n2+5 n) 3.
B1: với n = 1, ta có: u1=13+3.12+5.1=9 3
B2: giả sử uk chia hết cho 3 tức là uk = (k3+3k2+5k) 3
Ta c/m: uk+1 = [(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)] 3
Ta có: uk+1 = (k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)
 = k3+3k2+3k+1+3k2+6k+3+5k+5
 = (k3+3k2+5k) +(3k2+9k+9) 
 = uk + 3(k2+3k+3) 3
Vậy với nÎN* thì: un = (n3 +3n2+5 n) 3.
HD 2b) T.tự 2a. Ta có: uk = 4k+15k – 1 
uk+1 = 4k+1+15(k+1) – 1 = .. = 4uk – 9(5k+2) 9.
HD 2c) ta có: uk = k3 + 11k
uk+1= (k+1)3+11(k+1) = ... = uk+3k(k+1)+12 
vì k(k+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên k(k+1) 2, do đó 3k(k+1) 2; 3k(k+1) 3 nên 3k(k+1) 6
vậy uk+16.
HD bài 3b) T.tự bài 3a.