Giáo án dạy thêm Đại số 11 - Chương 2 - Bài: Phép thử, biến cố và xác suất

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
NỘI DUNG
+ gieo 1 đồng xu đồng chất, ta có kết quả ntn?
+ rút 1 quân bài trong bộ bài, kq ntn?
+ gieo 1 con xúc sắc cân đối, đồng chất, kq ntn?
I. PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:
1. Phép thử: phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được k.quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các k.quả có thể có của phép thử đó.
+ gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất, có mấy kq xảy ra?
+ gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất 2 lần, có mấy kq xảy ra?
+ gieo 1 con xúc sắc cân đối, đ.chất có mấy kq xảy ra?
+ gieo 1 con xúc sắc cân đối, đ.chất 2 lần có mấy kq xảy ra?
Bài tập 1: mô tả kg mẫu khi gieo 1 đồng xu 3 lần?
B.tập 2: Một hộp chứa 4 thẻ được đánh số 1,2,3,4, lấy ngẫu nhiên 2 thẻ. Mô tả kg mẫu?
B.tập 3: Một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1,2,3,4,5. lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 lần ( mỗi lần 1 quả) và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Mô tả kg mẫu? 
Þ
2. Không gian mẫu:
Tập hợp các k.quả có thể xảy ra của 1 phép thử đgl không gian mẫu của phép thử. Kí hiệu: W ( Omega).
VD1: 
+ gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất, ta có 
+ gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất 2 lần, ta có kg mẫu là: 
+ gieo 1 con xúc sắc cân đối, đ.chất ta có kg mẫu là: 
+ gieo 1 con xúc sắc cân đối, đ.chất 2 lần ta có kg mẫu:
với (i,j) là kq “lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”
VD2: Gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất 2 lần, ta có kg mẫu là: 
B.cố A: “ kết quả 2 lần gieo giống nhau” 
B.cố B: “lần đầu x/hiện mặt ngửa” 
B.cố Þ C: “mặt sấp x/hiện ít nhất 1 lần”
II. BIẾN CỐ:
Biến cố là 1 tập con của kg mẫu.
* Chú ý: + tập Æ đgl biến cố không thể xảy ra.
 + tập W đgl biến cố chắc chắn.
Sửa b.tập 1;2:
III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ:
Giả sử A; B là 2 biến cố của phép thử W. Ta có:
+ tập W\A ddgl biến cố đối của A. kí hiệu: .
Lưu ý: nếu 
VD: gieo 1 con xúc sắc; biến cố A: “chỉ xuất hiện mặt chấm chẵn”, biến cố B: “chỉ xuất hiện mặt chấm lẻ” 
+ tập đgl hợp của 2 b.cố A và B.
+ tập đgl giao của 2 b.cố A và B.
+ Nếu thì A và B đgl biến cố xung khắc.
HD Bài 3: 
b) 
HD bài 4: b.cố A1 : “ người 1 bắn trúng” ; b.cố A2 : “ người 2 bắn trúng”. Gọi : “ người 1 bắn không trúng” ,
 : “ người 2 bắn không trúng” .
: “không ai bắn trúng”; 
: “ người 1 bắn trúng và người 2 trật hoặc người 2 bắn trúng và người 1 trật”.
: “ ít nhất 1 người bắn trúng”
HD Bài 5: a) 
b)
HD bài 7: 
b) b.cố b.cố ; 
§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
NỘI DUNG
Tính khả năng xảy ra của các b.cố sau:
A: “xúc sắc xuất hiện mặt lẻ” = ?
B: “xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”.
VD2: Gieo 1 đồng xu cân đối, đồng chất 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “ kết quả 2 lần gieo giống nhau”
ta có kg mẫu: , n(W) = 4.
b.cố , n(A) = 2 nên p(A) = 
b) B: “mặt ngửa xuất hiện ít nhất 1 lần” 
, n(B) = 3 nên 
c) C: “mặt ngửa x/hiện 2 lần”. T.tự.
VD3: Gieo 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất 1 lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: ”mặt lẻ xuất hiện” , ta có : 
ta có kg mẫu: 
suy ra: 
b) B: ” xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”
c) C: ”xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 5”
I. Đ/N CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:
1. Đ/n: (sgk)
VD1: gieo 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất. ta có kg mẫu là: . Khả năng xuất hiện các mặt là như nhau nên đgl đồng khả năng xuất hiện. khả năng xuất hiện của mỗi mặt là: . Gọi b.cố A: “con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn” hay , thế thì khả năng xảy ra của b.cố A là: . Số ½ đgl xác suất của b.cố A.
Đ/N: Giả sử A là b.cố của phép thử có 1 số hữu hạn kq đồng khả năng xuất hiện. xác suất của b.cố A, kí hiệu : p(A), được xác đinh bởi: .
n(A): số p.tử của A; n(W): số p.tử của kg mẫu.
HD bài 1: Gieo 1 con xúc sắc cân đối, đ/chất 2 lần (tr.60)
Ta có kg mẫu: 
a) b.cố A: “.” = Þn(A) = 6.
b) b.cố B: “” = Þn(B) = 11.
c) p(A) = 6/36; p(B) = 11/36
HD bài 2: a) 
b) Tính các xác suất:
 suy ra p(A)=..
suy ra p(B)=
VD5: 1 hộp chứa 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20. lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất của các biến cố:
a) A: “nhận được quả cầu ghi số chẵn” .
ta có kg mẫu 
b.cố nên p(A) = ½ .
b) B: “nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3”
nên p(B) = 3/10.
c) nên p(AÇB) = 3/20
d) C: “nhận được quả cầu không chia hết cho 6”.
b.cố C và AÇB là 2 b.cố đối nên P(C) = 1 – p(AÇB).
II. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT:
1. Đ.lý: A, B là 2 biến cố của phép thử. Ta có:
+ A và B là 2 b.cố x/khắc thì: 
H.quả: bất kỳ b.cố A, ta có: 
VD4: 1 hộp có 3 quả cầu trắng, 2 q.cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất: 
a) A: “2 quả khác màu”. 
số cách chọn 2 quả khác màu là: n(A) = 3.2 = 6 suy ra p(A)
b) B: “2 quả cùng màu”, ta có nên 
p(B) = p= 1 – p(A) = 
VD6: (VD 7_sgk/71)
a, b : (sgk)
c) c.tỏ : p(A.B) = p(A).p(B); p(A.C) = p(A).p(C)
ta có, b.cố AÇB = A.B = 
nên p(A.B) = 
tương tự ta có: p(A.C) = p(A).p(C)
III. CÁC B.CỐ ĐỘC LẬP, CT NHÂN XÁC SUẤT:
A và B là 2 b.cố đ.lập 
HD bài 4: 
a) Pt x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm Û Δ³ 0 
 Û b2 – 8 ³ 0 .
Vì nên suy ra p(A) = 
b) loại trừ suy ra pt vô nghiêm khi p(B) = ..
c) xét các trường hợp có nghiêm suy ra g.trị cần tìm.
HD bài 5: 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên 4 quân.
Số p.tử của kg mẫu: 
a) A = “cả 4 con đều là át” Þ n(A) = 1 suy ra p(A) = 
b) gọi b.cố E: “4 quân không có át” nên
n(E)= Þ 
B và E là 2 b.cố đối nên p(B) = 1- p(E).
c) C: “ 2con át và 2 con K” Þ n(C) = 
suy ra p( C)= 
HD bài 7: hộp 1 chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen, hộp 2 chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả. Gọi b.cố A: “Quả lấy từ hộp 1 là trắng”; b.cố B: “ quả lấy từ hộp thứ 2 là trắng”.
a) A và B có lầ 2 biến cố độc lập không?
Ta có các kg mẫu là thì: 
Và 
p( A )= ..; p( B) = ; p(A.B) suy ra A và B là 2 b.cố độc lập
b) tính xác suất để 2 quả lấy ra cùng màu?
Gọi b.cố C: “2 bi cùng màu”.
+ TH1: gọi b.cố C1: “ 2 bi màu trắng” ÞC1 = AÇB nên xác suất là: p(C1) = p( AÇB ) = p(A). p(B) = 6/25
+ TH2: gọi b.cố C2: “ 2 bi màu đen” tương tự ta cũng có:
p(C2) = p( A2ÇB2 ) = p(A2). p(B2) =6/25
nên p( C) = p(C1) + p(C2) =  = 12/25.
c) Gọi b.cố D: “2 bi không cùng màu”. Ta có, b.cố D và C là 2 biến cố đối nhau nên: p(D) = 1 – p( C) =  = 13/25.
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG 2
BÀI TẬP
LÝ THUYẾT
+ Qui tắc cộng, nhân.
+ Đ/n hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp?
+ Phân biệt giữa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp?
+ B.cố; kg mẫu; công thức tính xác suất?	
Bài 4: Có bao nhiêu số TN chắn có 4 chữ số được lập từ các chữ số: 0;1;2;3;4;5;6 biết:
a) Tùy ý? b) các chữ số khác nhau?
Số TN có 4 chữ số có dạng: 
a) + Số dang có 6 cách chọn a; 7 cách chọn b; 7 cách chọn c nên có: 6x7x7 = 294 ( số ).
+ Số dang có 6 cách chọn a; 7 cách chọn b; 7 cách chọn c nên có: 6x7x7 = 294 ( số ).
+ T.Tự cho các dạng còn lại có 294 ( số ).
Nên có 294x4 = 1176 (số).
b) + Số dang có 6 cách chọn a; 5 cách chọn b; 4 cách chọn c nên có: 6x5x4 = 120 ( số ).
+ Số dang có 5 cách chọn a; 5 cách chọn b; 4 cách chọn c nên có: 5x5x4 = 100 ( số ).
+ T.Tự cho các dạng còn lại có 100 ( số ).
Nên có 120+3x100 = 420 (số).
Bài 5: Xếp ngẫu nhiên 3 nam, 3 nữ vào 6 ghế hàng ngang. Tính xác suât sao cho:
a) A: “nam nữ xen kẽ”? b) B: “3 nam kề nhau”?
a) số cách sắp xếp 6 hs vào 6 ghế hàng ngang là: 6! Nên số p.tử của kg mẫu là: 
Số cách sắp 3 nam vào 3 ghế 1;3;5 ( hoặc 2;4;6 ) là: 2x3!
Số cách sắp xếp 3 nữ là: 3! Nên số cách sắp xếp nam, nữ xen kẽ là: 2.3!3!= 72.
Suy ra p ( A ) = 
b) xét các trường hợp nam đứng các vị trí: 123XXX; X234XX; XX345X; XXX456. mỗi cách sắp xếp trên là 1 hoán vị nên: 4.3!3! = 144. suy ra P(B) = 144/270.
Bài 6: 1 hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất:
a) A: “4 quả cùng màu”? b) B: “có ít nhất 1 quả trắng”?
số p.tử của kg mẫu là: 
A1:“số c/chọn 4 quả trắng”: 
A2:“số cách chọn 4 quả đen”: 
Vì A1 và A2 độc lập nên: .
b) ta có: b.cố B và A2 là 2 b.cố đối nên xác suất của b.cố B là
p(B) = 1 – p( A2) = 
HD bài 6: 
Kg mẫu: 
Và 
a) A: “cạnh của lục giác” Þn(A) = 6 Þ p(A) = ..
b) B: “đường chéo của lục giác” _ tương tự.
c) T.tự
Bài 1: Để chọn đồng phục cho lớp, GVCN có được bảng mẫu gồm 9 loại áo, 8 loại quần và 6 loại giầy. Hỏi GVCN có ? cách chọn một bộ trang phục gồm áo, quần và giầy?
Bài 2: Lớp B13 có 50 hs, có bao nhiêu cách giao nhiệm vụ cho 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bàn, 1 bạn lau ghế?
HD: dùng qui tắc nhân.
Bài 3: Từ các chữ số: 0;1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số TN có 5 chữ số thỏa:
a) Đôi một khác nhau?
b) Đôi một khác nhau và bắt đầu bởi số 12.
c) số 5 đứng giữa và các số cách đều 5 giống nhau?
HD: dùng qui tắc nhân.
Bài 4: Rút gọn các biểu thức:
a) 
ta có: 
b) . Ta có: 
Thay vào b.thức C, rút gọn suy ra kết quả
Bài 4: Giải các pt và bất pt sau:
a) Û 2.x2 – 6x – 8 = 0 giải pt bậc 2.
b) 
; pt bậc 2.
c) (1)
ta có: 
Nên (1) Û 72x – (x – 1)x = 72 Û x2 – 73x + 72 = 0 ...
d) . ta có: 
Thay vào bpt, giải bpt bậc 2.
Bài 5: khai triển nhị thức: ; 
HD: Khai triển 3 dòng
Bài 6: Tính các tổng sau: 
a) 
b) 
HD: dựa vào khai triển : 
Bài 7: a) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển : 
b) Tìm số hạng đứng giữa của khai triển: 
c) Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau a); b) ; c) 
Xác định n sao cho trong khai triển hạng tử thứ 11 là số hạng có hệ số cao nhất.
HD: dùng công thức tổng quát;
Bài 8: Trong hộp có 6 bi đỏ, 4 bi trắng cùng kích cỡ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất sao cho :
a) Hai viên bi đỏ; b) ít nhất 1 viên bi đỏ; 
c) Viên thứ 2 màu đỏ.
HD: 
a) số p.tử của A: 
b) b.cố : “không có bi đỏ” 
B và đối nhau nên: p(B) = 1 – p() = ...
c) + nếu viên thứ nhất đỏ thì p(C) = p(A).
+ Nếu viên thứ nhất trắng 
Bài 9: Có 2 hộp bút : hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bút. Tính xác suất sao cho có 1 bút xanh và 1 bút đỏ.
Gọi b.cố A: “1 bút xanh và 1 bút đỏ”
+ Gọi b.cố A1: “1 bút xanh ở hộp 1 và 1 bút đỏ ở hộp 2”
Kg mẫu có số p.tử: 
+ Gọi b.cố A2: “1 bút xanh ở hộp 2 và 1 bút đỏ ở hộp 1”
b.cố A1 và A2 độc lập nhau nên p(A) = p(A1).p(A2).