Giáo án dạy chiều Đại số 11: Hoán vị - Chỉnh hợp – tổ hợp

Ngày 02-11-2008
Buổi: hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
a. Mục tiêu:
 - Nắm được hai quy tắc đếm cơ bản; định nghĩa và công thức tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
 - Vận dụng vào giải một số bài toán cơ bản.
B. nội dung:
I. hoán vị 
 1. Lí thuyết:
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt . Mỗi cỏch sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đú được gọi là một hoỏn vị của n phần tử. Số cỏc hoỏn vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.
. Quy ước: 0! = 1.
 2.Ví dụ:
Vớ dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cú 5 chỗ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch.
Giải
Mỗi cỏch đổi chỗ 1 trong 5 người trờn băng ghế là 1 hoỏn vị.
Vậy cú P5 = 5! = 120 cỏch sắp.
Vớ dụ 2. Tỡm , nếu cú: .
Giải
Điều kiện: 
Vậy n = 3.
II. chỉnh hợp
1. Lí thuyết:
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt . Mỗi cỏch chọn ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đú được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số cỏc chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Nhận xột: 
.
2.Ví dụ:
Vớ dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cú 7 chỗ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch.
Giải
Mỗi cỏch chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và cú hoỏn vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
Vậy cú cỏch sắp.
Vớ dụ 2. Từ tập hợp cú thể lập được mấy số tự nhiờn cú 4 chữ số khỏc nhau.
Giải
Gọi với và phõn biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số nờn cú 5 cỏch chọn a1.
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số cũn lại để sắp vào 3 vị trớ cỏch.
Vậy cú số.
III. tổ hợp
1. Lí thuyết:
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phõn biệt . Mỗi cỏch chọn ra k phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số cỏc tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
2.Ví dụ:
Vớ dụ 1. Một nhúm cú 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đú cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ cú 3 cỏch.
- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam cú .
Suy ra cú cỏch chọn.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.
- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ cú cỏch.
- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam cú 5.
Suy ra cú cỏch chọn.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ cú 1 cỏch.
Vậy cú cỏch chọn.
Vớ dụ 2. Tỡm , nếu cú: 
Giải
Điều kiện: .
Từ (2) và (3) ta cú: . Vậy .
Nhận xột: 
i/ Điều kiện để xảy ra hoỏn vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phõn biệt.
ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khỏc nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thỡ chỉnh hợp cú sắp thứ tự cũn tổ hợp thỡ khụng.
IV. Phương pháp giải toán.
4.1. Phương phỏp 1.
1. Lí thuyết:
Bước 1. Đọc kỹ cỏc yờu cầu và số liệu của đề bài. Phõn bài toỏn ra cỏc trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phõn thành cỏc giai đoạn.
Bước 2. Tựy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toỏn để sử dụng quy tắc cộng, nhõn, hoỏn vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
Bước 3. Đỏp ỏn là tổng kết quả của cỏc trường hợp trờn.
2.Ví dụ:
Vớ dụ 1. Một nhúm cụng nhõn gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhúm ra 5 người để lập thành một tổ cụng tỏc sao cho phải cú 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phú nam và cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch lập tổ cụng tỏc.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ cú 5 cỏch.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú cỏch.
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam cũn lại cú cỏch.
Suy ra cú cỏch chọn cho trường hợp 1.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ cú cỏch.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú cỏch.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam cũn lại cú 13 cỏch.
Suy ra cú cỏch chọn cho trường hợp 2.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ cú cỏch.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú cỏch.
Suy ra cú cỏch chọn cho trường hợp 3.
Vậy cú cỏch.
Cỏch khỏc:
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phú cú cỏch.
+ Bước 2: chọn 3 tổ viờn, trong đú cú nữ.
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam cú cỏch.
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam cú cỏch.
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ cú cỏch.
Vậy cú cỏch.
Vớ dụ 2. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó
	a. Số tạo thành là số chẳn?
	b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1?
	c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
	d. Phải có mặt hai số 0 và 1?
4.2. Phương phỏp 2.
1. Lí thuyết:
 Đối với nhiều bài toỏn, phương phỏp 1 rất dài. Do đú ta sử dụng phương phỏp loại trừ (phần bự) theo phộp toỏn .
Bước 1: chia yờu cầu của đề thành 2 phần là yờu cầu chung X (tổng quỏt) gọi là loại 1 và yờu cầu riờng A. Xột là phủ định của A, nghĩa là khụng thỏa yờu cầu riờng gọi là loại 2.
Bước 2: tớnh số cỏch chọn loại 1 và loại 2.
Bước 3: đỏp ỏn là số cỏch chọn loại 1 trừ số cỏch chọn loại 2.
Chỳ ý:
Cỏch phõn loại 1 và loại 2 cú tớnh tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải.
2.Ví dụ:
Vớ dụ 1. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cú thể lập được mấy số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau.
Giải
+ Loại 1: chữ số a1 tựy ý, ta cú 5! = 120 số.
+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta cú 4! = 24 số.
Vậy cú 120 – 24 = 96 số.
Vớ dụ 2. Một nhúm cú 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đú cú ớt nhất 1 nữ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch.
Giải
+ Loại 1: chọn 3 người tựy ý trong 13 người cú cỏch.
+ Loại 2: chọn 3 nam (khụng cú nữ) trong 7 nam cú cỏch.
Vậy cú cỏch chọn.
Vớ dụ 3. Từ 20 cõu hỏi trắc nghiệm gồm 9 cõu dễ, 7 cõu trung bỡnh và 4 cõu khú người ta chọn ra 10 cõu để làm đề kiểm tra sao cho phải cú đủ cả 3 loại dễ, trung bỡnh và khú. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu đề kiểm tra.
Giải
+ Loại 1: chọn 10 cõu tựy ý trong 20 cõu cú cỏch.
+ Loại 2: chọn 10 cõu cú khụng quỏ 2 trong 3 loại dễ, trung bỡnh và khú.
- Trường hợp 1: chọn 10 cõu dễ và trung bỡnh trong 16 cõu cú cỏch.
- Trường hợp 2: chọn 10 cõu dễ và khú trong 13 cõu cú cỏch.
- Trường hợp 3: chọn 10 cõu trung bỡnh và khú trong 11 cõu cú cỏch.
Vậy cú đề kiểm tra.
Chỳ ý: 
Giải bằng phương phỏp phần bự cú ưu điểm là ngắn tuy nhiờn nhược điểm là thường sai sút khi tớnh số lượng từng loại.
Vớ dụ 4. Từ 20 cõu hỏi trắc nghiệm gồm 9 cõu dễ, 7 cõu trung bỡnh và 4 cõu khú người ta chọn ra 7 cõu để làm đề kiểm tra sao cho phải cú đủ cả 3 loại dễ, trung bỡnh và khú. Hỏi cú thể lập được bao nhiờu đề kiểm tra.
 Giải 
+ Loại 1: chọn 7 cõu tựy ý trong 20 cõu cú cỏch.
+ Loại 2: chọn 7 cõu khụng thỏa yờu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 cõu dễ hoặc trung bỡnh trong 16 cõu cú cỏch.
- Trường hợp 2: chọn 7 cõu dễ và khú trong 13 cõu cú cỏch.
- Trường hợp 3: chọn 7 cõu trung bỡnh và khú trong 11 cõu cú cỏch.
Vậy cú đề kiểm tra.
Vớ dụ 5. Hội đồng quản trị của một cụng ty gồm 12 người, trong đú cú 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đú người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phú chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viờn. Hỏi cú mấy cỏch bầu sao cho trong 4 người được bầu phải cú nữ.
Giải
+ Loại 1: bầu 4 người tựy ý (khụng phõn biệt nam, nữ).
- Bước 1: bầu chủ tịch và phú chủ tịch cú cỏch.
- Bước 2: bầu 2 ủy viờn cú cỏch.
Suy ra cú cỏch bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phú chủ tịch cú cỏch.
- Bước 2: bầu 2 ủy viờn cú cỏch.
Suy ra cú cỏch bầu loại 2.
Vậy cú cỏch.
C. những lưu ý :