Giáo án đại số và giải tích 11 – Cơ bản - Tiết 49, 50: Giới hạn của dãy số

Tiết 49,50: Bài 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
 ***&&***
I. Mục tiêu:
 1. Kiến thức:
 HS nắm được:
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, một vài giới hạn đặc biệt, giới hạn của tổng hiệu, tích, thương.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
 2. Kĩ năng:
 - Vận dụng thành thạo tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của dãy số.
 - Vận dụng giới hạn của dãy số để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3. Thái độ:
 - Tự giác, tích cực trong học tập.
 - Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể.
 - Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Chuẩn bị của giáo viên:
Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở.
Chuẩn bị các ví dụ sinh động.
Chuẩn bị phấn màu và một số đồ dùng khác.
Chuẩn bị của học sinh:
 Cần ôn lại một số kiến thức đã học ở lớp dưới.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Ổn định lớp.
Kiểm tra bài cũ: không kiểm tra
Nội dung bài mới:
 HOẠT ĐỘNG 1
I. Giới hạn hữu hạn của dãy sô
 1. Định nghĩa:
 *GV cho HS thực hiện HĐ1 sgk
 Hãy điền vào bảng sau:
n
1
2
3
4
5
un
*Sau đó GV đưa ra các câu hỏi sau:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
+ Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng 0,01?
+ n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ un đến 0 bằng 0,001?
+ Khoảng cách đó bằng o.
+ n = 100
+ n = 1000
* GV đặt vấn đề: Ta biết rằng dãy số đã cho là dãy số giảm.
Vậy: Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng các từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
*GV cho HS trả lời, sau đó cho HS phát biểu định nghĩa 1
Định nghĩa 1:
 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay un 0 khi n 
* GV đưa ra câu hỏi củng cố định nghĩa:
 + Nêu một vài ví dụ về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô cực?
 + Dãy sô un = có dần tới 0 khi n dần tới vô cực hay không?
* GV nêu luôn định nghĩa 2:
 Định nghĩa 2: sgk
 Kí hiệu: hay vn a khi n 
* Thực hiện ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
a) Cho dãy số (vn) với vn = . Chứng minh rằng .
b) Cho dãy số (vn) với vn = . Chứng minh rằng 
+ = = =0
Vậy = = 3
+ = = =0
Vậy = = 1
 HOẠT ĐỘNG 2:
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
 * GV nêu các kết quả:
 a) = 0; = 0 với k nguyên dương
 b) = 0 nếu < 1;
 c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì = = c
*GV nêu chú ý: 
 Từ nay về sau thay cho = a, ta viết tắt là limun = a
 HOẠT ĐỘNG 3
II. Định lí về giới hạn hữu hạn:
 * GV nêu định lí 1
 a) nếu limun = a và limvn = b thì
 - Lim(un + vn) = a + b; - lim (un – vn) = a – b
 - lim(un.vn) = a.b ; - lim = (nếu b 0)
 b) Nếu un 0 với mọi n và limun = a thì a0 và lim=
* Thực hiện ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
a) Tìm lim?
+ Mẫu số và tử số là những đa thức bậc mấy?
+ Chia cả tử số và mẫu số cho n2 ta được biểu thức nào?
+ Dựa vào định lí hãy tìm giới hạn của dãy số?
b) Tìm lim ?
c)Tìm lim ?
d) Tìm lim ?
e) Tìm lim
+ Bậc 2
+ = 
+ lim
 = lim = 
+ lim = lim
 = lim= lim = 3
 HOẠT ĐỘNG 4
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 *GV nêu định nghĩa, khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn:
 Cấp số nhânn vô hạn (un) có công bội q, với < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
 + Hãy tìm một số ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn?
*GV nêu tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
 Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó,
 S = u1 + u2 + u3 ++ un +
Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
 S = ( < 1)
* Thực hiện các ví dụ sau:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un = 
+ Hãy xác định u1, q trong cấp số nhân?
+ Hãy tính tổng?
b) Tính tổng 1 + + + ++()n-1+
+ Mỗi số hạng của tổng có thể lập thành cấp số nhân lùi vô hạn hay không?
+ Hãy tính tổng?
+ u1 = , q = 
+ S = = = = 1
+ Là cấp số nhân có công bội q = 
+ S = = = = 
 HOẠT ĐỘNG 5: củng cố
Hãy nhắc lại định nghĩa giới hạn của dãy số?
Nêu định lí về giới hạn hữu hạn?
Một vài giới hạn đặc biệt?
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?
IV. Dặn dò:
Về học bài và làm các bài tập 2, 3, 4, 5.
Xem phần còn lại của bài để tiết sau học tiếp.