Giáo án Đại số và Giải tích 11 cơ bản tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

Tuần: 13
Ngày soạn: 27/10/2009
Tiết: 37
Ngày dạy: 03/11/2009
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Mục tiêu:
Kiến thức:
Nắm vững hai phương pháp chứng minh quy nạp trong trường hợp cụ thể và trường hợp tổng quát.
Kỹ năng:
Chứng minh bài toán bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
Thái độ:
Cẩn thận, chính xác.
Biết lập luận có logic.
Biết được toán học được hình thành từ yêu cầu thực tiễn và ngược lại 
Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Chuẩn bị của giáo viên:
Phương tiện:
- Chuẩn bị các bảng ghi nội dung và kết quả của mỗi hoạt động.
Phương pháp:
 Chủ yếu sử dụng phương pháp mở thông qua các hoạt động điều khiển tư duy của học sinh, phương pháp trực quan , đàm thoại giải quyết vấn đề.
Chuẩn bị của học sinh:
Xem trước bài “Phương pháp quy nạp toán học”.
Tiến trình bài dạy:
Kiểm tra bài cũ: không.
Bài mới:
Hoạt động 1: Phương pháp quy nạp toán học
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- Nghe, hiểu nhiệm vụ.
- Treo bảng phụ đã kẻ bảng xét tính đúng sai của mệnh đề P(n) và Q(n) trong hoạt động 1 SGK
? Vậy thì P(n), Q(n) đúng hay sai, ta có kết luận ngay được không?
Dẫn vào bài: 
- Muốn chứng tỏ một kết luận là sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ.
- Muốn chứng tỏ một kết luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp. Với các mệnh đề phụ thuộc thì việc làm phép thử với 1 số giá trị của n (cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi là chứng minh. Hơn nữa tập hợp là vô hạn nên việc thử với mọi số tự nhiên là không thể làm được. Do vậy phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán loại này
- Ghi nhận kiến thức.
- Trình bày kết quả:
À1 : Với thì đều đúng.
Với thì sai và đúng 
Với mọi thì sai và chưa thể kết luận là đúng 
thì mệnh đề P(n) sai vì khi n = 5 thì P(5) sai
Mặc dù Q(n) là đúng khi n = 1,2,3,4,5 song vẫn chưa thể khẳng định được Q(n) đúng 
* Để chứng minh một mệnh đề đúng bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước: 
Bước 1: (bước khởi đầu) Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiết quy nạp), cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với
Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Nghe, hiểu nhiệm vụ.
- Trình bày kết quả:
Với , ta có
đúng khi n = 1.
Đặt vế trái (1) bằng 
Giả sử đẳng thức (1) đúng với , nghĩa là:
(giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với , tức là:
Từ giả thiết quy nạp ta có:
Vậy hệ thức (1) đúng 
Đặt 
Với , ta có 
Giả sử với , ta có:(giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh 
Ta có: 
Theo giả thiết quy nạp và nên 
Vậy chia hết cho 6 với mọi 
* Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:
(1)
Tập số ? 
* Hướng dẫn sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với ta có đẳng thức nào đúng?
Cần chứng minh điều gì?
Vì ta đã Giả sử đẳng thức (1) đúng với nên ở đây ta thay giá trị của vào để chứng minh
Giáo viên thực hiện từng bước để học sinh theo dõi
Lưu ý học sinh sau khi chứng minh xong phải ghi kết luận
* Ví dụ 2: Chứng minh với mọi , ta có chia hết cho 6.
Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo từng bước
Yêu cầu HS thực hiện bước 1
Giả sử với đúng nghĩa là ta có điều gì?
Cần chứng minh điều gì?
Hướng dẫn học sinh biến đổi cho có biểu thức giống để có thể áp dụng được giả thiết quy nạp 
Hoạt động 3: Chú ý cho trường hợp tổng quát
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Phát biểu bài toán: “Chứng minh rằng (2) với mọi số tự nhiên ”
Ghi nhận kiến thức: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên (p là 1 số tự nhiên) thì: 
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì (giả thiết quy nạp) và phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1
Với n = 3 đúng với n = 3
Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với , nghĩa là: (2’)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với , tức là 
Từ giả thiết quy nạp ta nhân 2 vế của bất đẳng thức (2’) với 3 ta có: 
Mà 2.8k-8>0 với nên 
Vậy với mọi số tự nhiên 
Yêu cầu học sinh thực hiện À3 SGK
Giáo viên treo bảng phụ để học sinh so sánh giá trị và 8n
Vậy nếu n cứ tăng dần lên cho học sinh dự đoán kết quả và đưa ra bài toán cần chứng minh
Như vậy ta có kiểm tra bài toán với n = 1 không? Từ đó giáo viên đưa ra phần chú ý.
Vận dụng yêu cầu học sinh chứng minh bài toán vừa nêu
Kiểm tra với n bằng bao nhiêu?
Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với nghĩa là ta đã có điều gì?
Cần chứng minh điều gì?
Giáo viên hướng dẫn học sinh đi từ giả thiết quy nạp biến đổi để được bất đẳng thức cần chứng minh
Củng cố và luyện tập: Yêu cầu học sinh nêu 2 bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Luyện tập: yêu cầu học sinh làm À2 SGK
Hướng dẫn ở nhà: 
Làm bài 1, 2, 3, 4, 5 /82_83 SGK.
Bổ sung: