Giáo án Đại số Giải tích 11 tiết 41: Cấp số cộng

Ngày soạn :
Ngày dạy: ___/__/_____
Tiết 41. CẤP SỐ CỘNG
I. Mục tiêu: 
1. Kiến thức: Giúp học sinh nắm: 
- Biết khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
2. Kĩ năng:
- Biết sử dụng các công thức và tính chất của cấp số cộng để giải các bài toán: Tìm các yếu tố còn lại khi biết bá trong 5 yếu tố u1, un, n, d, Sn.
3. Thái độ:
	- Tự tin và có lập trường khi thế giới quan về môi trường sống được nâng cao thêm một bước .	
II. Tiến trình tổ chức giờ học :
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung bài học
Hoạt động 1: Định nghĩa
Mục tiêu :
Tg : 
ĐDDH :
PP : 
* Cách thức tiến hành : 
GV: Yêu cầu Hs giải 1
HS: Giải
GV: Lưu ý có thể có nhiều quy luật. Nên có thể hỏi gợi ý: Xét hiệu hai số hạng liên tiếp từ trái sang phải?
GV: Từ đó giới thiệu định nghĩa 
GV: Yêu cầu HS giải ví dụ 1
HS: Giải
GV: HD xem lại định nghĩa
Hoạt động 2: Số hạng tổng quát
Mục tiêu :
Tg : 
ĐDDH :
PP : 
* Cách thức tiến hành : 
GV: Yêu cầu HS giải ví dụ 1’
HS: Giải
GV: Gợi ý Aùp dụng dụng nghĩa (có thể viết tiếp đến u100) nhưng chúng ta có thể tìm quy luật (thứ của số hạng với bội số của bốn).
GV: Từ đó dự đoán công thức tổng quát 
GV: Gợïi ý cho học sinh chứng minh các tính chất bằng phương pháp qui nạp 
GV: Có thể giới thiệu cách chứng minh khác
GV: Yêu cầu HS giải VD2
HS: Giải
GV: HD (nếu cần) Vận dụng định lý
GV: Đây là tính chất đặc trưng của cấp số cộng mà ta sẽ xét dưới đây
Hoạt động 3: Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Mục tiêu :
Tg : 
ĐDDH :
PP : 
* Cách thức tiến hành : 
GV: Giới thiệu định lý  Yêu cầu HS chứng minh
HS: Chứng minh 
GV: HD (nếu cần)
Dựa vào định lý về số hạng tổng quát của một cấp số cộng, hãy chỉ ra :
uk-1 = ?
uk+1 = ?
Từ đó suy ra : uk-1 + uk+1 = ?
Hoạt động 4: Tổng N số hạng đầu của một cấp số cộng
Mục tiêu :
Tg : 
ĐDDH :
PP : 
* Cách thức tiến hành : 
GV: Giới thiệu định lý 
GV: Yêu cầu HS giải Ví dụ
HS: Giải
GV: HD
Trong dãy số lẻ nguyên dương u1 = ? d = ? (u1 = 1; d = 2)
Từ đó suy ra Sn = ?
I. ĐỊNH NGHĨA
1
Giải
- Quy luật: 
+ u1= -1
+ Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi 4.
- 15, 19, 23, 27, 31.
Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d gọi là công sai.
Gọi d là công sai, theo định nghĩa, ta có : un+1=un+d (n=1, 2, ) 	(2)
Ví dụ 1: a) Dãy số sau có là cấp số cộng không? Vì sao?
-5, -2, 1, 4, 7, 10.
b) Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1=9, d= -5. Viết dạng khai triển của nó.
Giải
a) Vì -2= -5+3; 1= -2+3; 4=1+3; 7=4+3; 10=7+3. Nên theo định nghĩa, dãy số -5, -2, 1, 4, 7, 10 là một cấp số cộng với công sai d=3.
b) 9, 4, -1, -6, -11, -16.
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT :
Ví dụ 1’: Cho (un) là một cấp số cộng với u1=3, d= 4. Tìm u100?
Giải
Aùp dụng định nghĩa ta có:
u2=u1+4
u3=u2+4= u1+2.4
u4=u3+4= u1+3.4
u5=u4+4= u1+4.4
Suy ra u100=u1+(100-1).4=3+396=399
Định lý 1: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được cho bởi công thức :
	un = u1 + (n-1)d với n³2 (2)
Chứng minh : Bằng phương pháp qui nạp
* Khi n = 2 thì u2 = u1+d, vậy công thức (2) đúng
* Giả thiết công thức của (2) đúng với n = k (k2), tức là uk=u1+(k-1)d.
Ta sẽ chứng minh rằng (2) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng minh : uk+1=u1+kd.
 Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thuyết quy nạp ta có: 
uk+1=uk+d = [u1+(k-1)d]+d = u1+kd
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) biết d = 2 và u1 = -7
a) Tìm u16
b) Số 53 là số hạng thứ bao nhiêu ?(Hay biết um=53. Tìm m)
c) Biểu diễn 5 số hạng đầu trên trục số. Nhận xét vị trí mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề
Giải : 
a) Theo công thức (2) ta có
un = u1+(n-1)d
u16 = -7 + (16-1).2 = 23
b) Theo công thức (2) ta có
um = -7+(m-1)2. Vì um=53 nên
-7+(m-1)2=53, từ đó m=31
c) Năm số hạng đầu của cấp số cộng là -7, -5, -3, -1, 1 được biểu diễn bởi các điểm u1, u2, u3, u4, u5 tương ứng trên hình (tự vẽ)
Điểm u2 là trung điểm của đoạn u1u3, hay . Ta cũng có kết quả tương tự đối với u3, u4.
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :
Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối), đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là :
Chứng minh : 
Giả sử (un) là cấp số cộng với công sai d. Sử dụng công thức (1) với k³2, ta có:
IV. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :
Định lý 3: Cho cấp số cộng (un) với công sai d tính tổng Sn của n số hạng đầu của nó (Sn = u1 + u2 +  + un). Khi đó:
* Sn tính theo u1 và un
 (4)
* Sn tính theo u1 và d
	 (4’)
Ví dụ : Tính tổng n số lẻ nguyên dương đầu tiên
Giải : u1 = 1 ; d = 2 ; un = 2n – 1 nên Sn = n2 
1. Củng cố và luyện tập:	
- Trình bày lại các công thức đã học?
2. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà:
- Xem l¹i bµi.
- Giải các bài tập trong SGK /97,98
- Chuẩn bị luyện tập.
- Soạn bài “Cấp số nhân”.
- Chuẩn bị thi HKI.
IV. Rút kinh nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .