Giáo án Đại số & Giải tích 11: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
 GIÁO ÁN 
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
Ngày soạn: 25/2/2010 Người soạn: Mã Thị Thu Hằng 
Bài soạn: chương IV. Giới hạn 
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
I. Mục tiêu 
Sau bài học này, học sinh đạt được các mục tiêu sau đây: 
1. Về kiến thức 
- Phát biểu được định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm, giới hạn của hàm 
số tại vô cực. 
- Trình bày lại được nội dung các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số. Áp dụng các định lý này tính giới 
hạn các dạng hàm số. 
2. Về kỹ năng 
- Tính được giới hạn của các hàm số có dạng: phân thức; biểu thức chứa dấu căn; tổng, hiệu, tích, thương 
của các hàm số đơn giản. 
- Luyện kỹ năng tính toán, khai triển các biểu thức đại số. 
3. Về thái độ 
- Tích cực, nghiêm túc học bài và làm bài ngay tại lớp. 
- Cẩn thận trong các phép tính toán. 
II. Chuẩn bị 
1. Giáo viên 
- Giáo án 
- Đồ dùng dạy học 
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao 
2. Học sinh 
- Ôn tập trước kiến thức cũ về giới hạn dãy số 
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao, vở ghi, nháp. 
- Đồ dùng học tập 
III. Phương pháp dạy học 
Phương pháp chủ đạo là gợi mở vấn đáp . 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
IV. Phương tiện dạy học: Bảng, phấn 
V. Tiến trình giờ dạy 
Thời 
gian 
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 
2’ 
3’ 
3’ 
3’ 
- Đưa ra bài toán 
- Gợi ý học sinh tìm lời 
giải 
- Gọi 1 học sinh đứng tại 
chỗ trình bày lời giải. 
- Giới thiệu định nghĩa 
giới hạn hàm số 
- Gợi ý học sinh rút ra 
nhận xét về giới hạn 
của hàm số. 
- Suy nghĩ, giải bài toán. 
- Trình bày lời giải 
(Phụ lục) 
- Đọc kỹ định nghĩa giới 
hạn hàm số 
- Từ định nghĩa 1 rút ra 
nhận xét 
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 
a. Giới hạn hữu hạn 
Bài toán: 
Cho hàm số ( ) 
 và một dãy bất kì 
 những số thực khác 2 
sao cho (1) 
Hãy xác định các giá trị tương ứng ( ), 
 ( ), , ( ),  của hàm số và tìm 
lim ( ). 
Định nghĩa: 
Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x0 và 
f là một hàm số xác định trên tập hợp 
(a;b)\{x0}. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn 
là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm 
x0) nếu với mọi dãy số xn trong tập hợp 
(a;b)\{x0} mà limxn=x0, ta đều có 
lim(xn)=L. 
Khi đó ta viết: 
 ( ) hoặc f(x)→L khi x→x0. 
Nhận xét 
 Trường hợp đặc biệt tính giới hạn hàm số 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
1’ 
5’ 
3’ 
2’ 
1’ 
3’ 
- Đưa ra ví dụ 1 
- Yêu cầu học sinh suy 
nghĩ, tìm lời giải ví dụ 
1. 
- Gọi 2 học sinh lên bảng 
trình bày lời giải 
- Yêu cầu học sinh dưới 
lớp làm ra giấy. 
- Chữa lời giải ví dụ 1 
- Gọi học sinh nêu định 
nghĩa giới hạn vô cực 
- Đưa ra ví dụ 2 
- Gọi 1 học sinh lên bảng 
trình bày lời giải. 
- Yêu cầu học sinh dưới 
lớp làm ra giấy 
- Áp dụng định nghĩa vừa 
được học tìm giới hạn 
cho ở ví dụ 1. 
(phụ lục) 
- Trình bày lời giải ví dụ 
1. 
- Từ định nghĩa giới hạn 
hữu hạn của hàm số tại 
một điểm rút ra giới hạn 
hữu hạn của hàm số 
- Suy nghĩ tìm lời giải ví 
dụ 2 
(Phụ lục) 
- Nếu f(x)=c trong đó c là một 
hằng số, thì : 
 ( ) 
- Nếu g(x)=x thì : 
 ( ) 
Ví dụ 1 
 Tính giới hạn sau bằng định nghĩa : 
a. ( 
) 
b. (
) 
b. Giới hạn vô cực 
 ( ) 
Ví dụ 2 
 Tìm (
( ) 
) 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
2’ 
3’ 
1’ 
3’ 
3’ 
3’ 
- Chữa lời giải ví dụ 2 
- Đưa ra định nghĩa giới 
hạn hàm số tại vô cực 
- Đưa ra ví dụ 3 
- Gọi 2 học sinh lên bảng 
trình bày lời giải 
- Chữa lời giải ví dụ 3 
- Gợi ý học sinh rút ra 
nhận xét về hàm số mũ 
tại vô cực 
- Đọc định nghĩa giới hạn 
hàm số tại vô cực 
- Suy nghĩ , giải ví dụ 3 
(Phụ lục) 
- Rút ra nhận xét về giới 
hạn của hàm số mũ tại 
vô cực 
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 
Định nghĩa 
 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; 
+∞). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 
số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi 
dãy số (xn) trong khoảng (a; +∞) mà lim 
f(xn)= +∞, ta đều có 
 ( ) 
 Định nghĩa tương tự với các giới hạn: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Ví dụ 3 
Tìm: 
a. 
b. 
Nhận xét 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
Tiết 
2 
3’ 
3’ 
3’ 
- Gọi học sinh nhắc lại 
các định lý của dãy số 
có giới hạn hữu hạn 
- Đưa ra định lý 1 
So sánh sự khác nhau 
giữa hai định lý về giới 
hạn của dãy số và giới 
hạn của hàm số. 
- Yêu cầu học sinh phát 
biểu bằng lời định lý 1. 
- Gợi ý học sinh rút ra 
nhận xét về 
- Ôn tập kiến thức về dãy 
số có giới hạn hữu hạn. 
(Các định lý về dãy số 
có giới hạn hữu hạn) 
- Tóm tắt định lý bằng 
lời. 
- Từ định lý 1 rút ra nhận 
xét về 
Áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số có thể 
chứng minh được: 
Với mọi số nguyên dương k, ta có: 
a. 
b. 
 { 
c. 
d. 
3. Một số định lý về giới hạn hữu hạn 
Định lý 1: 
 Giả sử ( ) và ( ) 
 ( R). Khi đó: 
a. ,( ( ) ( )- 
b. ,( ( ) ( )- 
c. ,( ( ) ( )- 
Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì 
, ( )- 
d. Nếu M 0 thì 
 ( )
 ( )
Nhận xét: 
 Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng 
số thì , ta có : 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
2’ 
3’ 
5’ 
7’ 
3’ 
5’ 
- Đưa ra ví dụ 4 
- Gọi 6 học sinh lên bảng 
trình bày lời giải 
- Yêu cầu các học sinh 
còn lại làm ra giấy 
- Chữa lời giải ví dụ 4 
- Đưa ra định lý 2 
So sánh với định lý tương 
ứng của giới hạn dãy số 
- Yêu cầu học sinh áp 
dụng định lý 2 để giải 
ví dụ 5. 
- Gọi học sinh lên bảng 
làm ví dụ 5. 
- Chữa lời giải ví dụ 5 
- Suy nghĩ, giải ví dụ 4 
- Trình bày lời giải 
(Phụ lục) 
- Áp dụng định lý 2 giải 
ví dụ 5. 
- Trình bày lời giải 
(phụ lục) 
= 
⏟ 
= ( )
 = a.x0
k 
Ví dụ 4. Tìm 
a. 
√ 
b. 
( ) 
c. ( 
 ) 
d. 
e. 
Định lý 2: 
Giả sử ( ) khi đó 
a. ( ) 
b. √ ( )
 √ 
c. Nếu f(x)≥ 0 * +, trong đó J là 
một khoảng nào đó chứa x0, thì L≥0 và 
 √ ( ) √ 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
Ví dụ5. 
 ( )√
VI. Bài giải dự kiến 
Lời giải dự kiến 
1. Bài toán 
Vì xn ≠ 2 nên: 
 ( ) 
 ( 
 )
 ( ) 
Do đó 
 ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ),  
Từ (1) suy ra 
 ( ) ( ) ( )=2(2+2)=8 
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn 8 khi x dần đến 2. 
2. Ví dụ 1 
a. ( 
) 
Xét hàm số g(x)= 
 với mọi dãy số (xn) mà xn≠0 à 
Vì ( ) | 
| và nên ( ) . 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
Do đó : 
 ( ) 
b. (
) 
Hàm số ( ) 
 xác định trên R\{1 ;4}. 
Giả sử xn là một dãy số bất kì, xn ≠ -1 
 ( ) 
( )( )
( )( )
Do đó: 
 ( ) 
3. Ví dụ 2 
(
( ) 
) 
(Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao – trang 147) 
4. Ví dụ 3 
a. 
b. 
(Sách giáo khoa trang 148) 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
5. Ví dụ 4 
a. 
√ 
Ta có: 
(√ ) 
√ 
Suy ra 
√ 
 = 
b. 
( ) 
 ( )
 ( ) 
Vì: (x-3)
2
 > 0 
c. ( 
 ) 
d. 
Đặt ( ) 
. Chia cả tử và mẫu của f(x) cho x2 ta có: 
 ( ) 
Vì . 
/ 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
Vậy: 
 ( ) 
e. 
Tương tự phần d. Chia cả tử và mẫu của f(x) cho x3. 
6. Ví dụ 5 
( )√
Đặt k(x)= ( )√
. 
- Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu căn cho x. 
- Vì: Khi thì x<0 nên |x|= -x. Do đó: 
 ( ) 
 √
 ( 
)√
Suy ra: 
 ( ) 
VII. Củng cố 
Kiến thức chính trong bài: 
Tiết 1(4 phút) 
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn của hàm số tại vô cực. 
- Cách tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa. 
Tiết 2(10 phút) 
- Hai định lý về giới hạn hữu hạn 
Giáo án thực tập – Mã Thị Thu Hằng 
Đại số và giải tích nâng cao 11 
- Một số lưu ý khi tính giới hạn hàm số 
Bài tập về nhà: 
- Bài tập sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao. 
- Bài tập sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao.