Giáo án Đại số 11 tiết 65: Dãy số có giới hạn vô cực

GIÁO ÁN CHUYÊN MÔN
Tiết 65: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 
Giáo viên hướng dẫn: Phạm Thị Thùy Trang
Sinh viên thực tập: Nguyễn Hoàng Khải
Lớp giảng dạy: 11A3
Thời gian: Tiết 2, thứ hai, ngày 02, tháng 03, năm 2009
Mục đích yêu cầu:
- Học sinh nắm vững định nghĩa dãy số có giới hạn là và các quy tắc tìm giới hạn vô cực.
- Học sinh vận dụng đựơc các quy tắc tìm giới hạn vô cực để áp dụng tìm giới hạn vô cực của các dãy số.
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: soạn giáo án, chuẩn bị bảng phụ.
- Học sinh: nắm vững tính chất của dãy số, định nghĩa dãy số có giới hạn 0 và dãy số có giới hạn hữu hạn các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, đọc trước bài dãy số có giới hạn vô cực.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp: 
Thời gian 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung, ghi bảng
05 phút
+ Ổn định lớp
+ Kiểm tra bài cũ:
. Cho hai học sinh lên bảng.
. Nhận xét, đánh giá cho điểm.
+ Giới thiệu bài mới:
. Ta thấy khi bậc cao nhất ở tử bằng bậc cao nhất ở mẫu thì dãy số có giới hạn hữu hạn, còn khi bậc cao nhất ở tử nhỏ hơn bậc cao nhất ở mẫu thì dãy số có giới hạn 0. Vậy khi bậc cao nhất ở tử lớn hơn bậc cao nhất ở mẫu thì dãy số có tồn tai giới hạn hay không ? và cách tính giới hạn của dãy số như thế như thế nào?
. Ta sẽ xét bài dãy số có giới hạn vô cực 
+ Ổn định trật tự
+ Theo dõi và thực hiện: 
. Trình bày
. Theo dõi và ghi nhớ.
+ Theo dõi suy nghĩ 
1/ Tìm 
Giải
= 
2/ Tìm 
Giải
= 
? Tìm 
Bài 3: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
05 phút
+ Xét ví dụ mở đầu dẫn đến định nghĩa dãy số có giới hạn :
. Tính các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 của dãy số trên ?
. Ta thấy khi n càng tăng thì un thay đổi như thế nào ? 
. Ta cho một số dương chẳng hạn như 4 thì ta thấy kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn 4?
. Như vậy với mỗi số dương tuỳ ý cho trứơc thì ta có thể xác định kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn số dương đó.
+ Nhận xét và trình bày định nghĩa dãy sô có giới hạn .
+ Nêu chú ý một số dãy số có giới hạn có thể chứng minh bằng định nghĩa thường gặp.
+ Theo dõi và trả lời theo câu hỏi gợi ý của giáo viên:
. Tính các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 của dãy số trên .
. Ta thấy khi n càng tăng thì un càng lớn.
. Kể từ số hạng thứ 4 trở đi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn 4.
. Theo dõi hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn và phát biểu định nghĩa dãy số có giới hạn .
+ Ghi nhớ định nghĩa dãy số có giới hạn .
+ Theo dõi và ghi nhớ một số dãy số có giới hạn thường gặp và áp dụng.
Dãy số có giới hạn :
Xét dãy số (un) với un = 2n - 3
Ta có:
u1 = -1, u2 = 1, u3 = 3, u4 = 5, u5 = 7
2n – 3 > 4 vậy kể từ số hạng thứ 4 trở đi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn 4.
Như vậy với mỗi số dương tuỳ ý cho trứơc thì ta có thể xác định kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn số dương đó.
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 
Định nghĩa:
 Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
 Khi đó ta viết:
 Lim(un) =hoặc limun =hoặc un.
Chú ý:
Limn =; 
10 phút
+ xét ví dụ mở đầu dẫn đến định nghĩa dãy số có giới hạn :
. Tính các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 của dãy số trên ?
. Ta thấy khi n càng tăng thì un thay đổi như thế nào ? 
. Ta cho một số âm chẳng hạn như -2 thì ta thấy kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn -2 ?
. Như vậy với mỗi số âm tuỳ ý cho trứơc thì ta có thể xác định kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn số âm đó.
+ Nhận xét và trình bày định nghĩa dãy sô có giới hạn .
+ Từ hai ví dụ mở đầu trên ta thấy:
 3 – 2n = -(2n – 3) 
Mà lim(2n – 3) = còn lim(3 – 2n) = từ đó suy ra chú ý cho học sinh ghi nhớ.
+ Nêu nhận xét từ đó suy ra định lý chứng minh dãy số có giới hạn là 0
+ Nêu định lý để chứng minh dãy số có giới hạn 0
+ Theo dõi và trả lới theo câu hỏi gợi ý của giáo viên:
. Tính các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 của dãy số trên .
. Ta thấy khi n càng tăng thì un càng nhỏ.
. Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn -2.
. Theo dõi hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn và phát biểu định nghĩa dãy số có giới hạn .
+ Ghi nhớ định nghĩa dãy số có giới hạn .
+ Theo dõi và ghi nhớ chú ý.
+ Theo dõi nhận xét suy nghĩ.
+Theo dõi và ghi nhớ định lý.
Dãy số có giới hạn :
Xét dãy số (un) với un = 3 – 2n
Ta có:
u1 = 1, u2 = -1, u3 = -3, u4 = -5, u5 = -7
3 – 2n < -2 vậy kể từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn -2.
 Như vậy với mỗi số âm tuỳ ý cho trứơc thì ta có thể xác định kể từ số hạng thứ mấy trở đi mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn số âm đó.
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 
Định nghĩa:
 Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
 Khi đó ta viết:
Lim(un) = hoặc limun = hoặc un.
Chú ý:
. 
Ví dụ 1: Vì lim(2n – 3) = nên lim(3 – 2n) = 
. Dãy số có giới hạn và được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Nhận xét: nếu thì càng lớn khi n càng lớn. Do đó càng nhỏ khi n càng lớn.
 Định lý:
Nếu limthì lim.
20 phút
+ Vì và không phải là các số thực nên ta không thể áp dụng các định lý ở bài 2 cho dãy số có giới hạn vô cực. Do đó ta có một số quy tắc tìm giới hạn vô cực. 
+ Trình bày quy tắc 1.
+ Thực hiện quy tắc 1 làm ví dụ 2:
.Từ đó suy ra lim(-nk) = ? và lim(-n)k = ?
+ Trong trường hợp và limun = L là số thực thì lim(unvn) được xác định như thế nào ?
+ Trình bày quy tắc 2: 
+ Trình bày ví dụ 3, áp dụng quy tắc 2 để tìm giới hạn:
. Ta thấy giới hạn của dãy số đã cho có giới hạn phụ thuộc vào luỹ thừa cao nhất của n là n3 nên ta đặt n3 ra làm thừa số chung.
+ Áp dụng quy tắc 2 và tương tự ví dụ 3 cho học sinh thực hiện H1:
+ Gọi học sinh nhận xét.
+ Nhận xét, củng cố quy tắc 2.
+ Trình bày quy tắc 3:
. Giải thích cách áp dụng quy tắc 3 vào việc giải bài tập tìm giới hạn.
+ Hướng dẫn học sinh đọc ví dụ trong sách giáo khoa.
+ Áp dụng quy tắc 3 lấy ví dụ mở đầu làm ví dụ 4:
+Hướng dẫn học sinh cùng thực hiện .
+ Áp dụng quy tắc 3 và tương tự như ví dụ 4 cho học sinh thực hiện H2:
. Gọi học sinh trình bày.
. Nhận xét, đánh giá củng cố quy tắc 3
+ Theo dõi và xây dựng quy tắc 1
+ Ghi nhớ quy tắc 1:
+ Theo dõi và áp dụng quy tắc 1 để thực hiện ví dụ 2
Suy nghĩ và thực hiện .
+ Theo dõi hình thành quy tắc 2.
+ Ghi nhớ quy tắc 2
+ Theo dõi khắc sâu hơn cách áp dụng quy tắc 2 để tìm giới hạn.
. Theo dõi và ghi nhớ cách áp dụng quy tắc 2 để tìm giới hạn vô cực. Thấy được áp dụng của định lý.
+ Áp dụng thực hiện H1:
+ Trình bày
+ Theo dõi khắc sâu quy tắc 2.
+ Theo dõi ghi nhớ quy tắc 3:
+ Theo dõi và đọc ví dụ trong sách giáo khoa.
+ Theo dõi áp dụng quy tắc 3 suy nghĩ giải ví dụ 4:
+ Ghi nhớ cách áp dụng quy tắc 3 để tìm giới hạn.
+ Áp dụng quy tắc 3 thực hiện H2:
. Trình bày.
. theo dõi, khắc sâu quy tắc 3 và cách áp dụng.
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
a/ Quy tắc 1:
 Nếu và thì lim(unvn) được cho trong bảng sau:
limun
limvn
lim(unvn)
Ví dụ 2:Vì n2 = n.n và limn = nên limn2 =
 Chú ý: với mọi số nguyên dương k, ta có limnk = 
Suy ra: lim(-nk) = ; 
lim(-n)k = 
b/ Quy tắc 2:
Nếu và thì lim(unvn) được cho trong bảng sau:
limun
Dấu của L
lim(unvn)
+
-
+
-
Ví dụ 3:a/ Tìm lim(2n3 + 3n +5)
Giải
Ta có 2n3 + 3n + 5 = n3
Vì limn3 = và 
lim= 2 > 0
Nên lim(2n3 + 3n +5) = 
b/ Tìm 
Giải
 Vì lim = nên áp dụng định lý ta có = 0
H1:a/ Tìm lim(nsinn - 2n3)
Giải
Ta có: nsinn – 2n3 = n3
Vì limn3 = và lim= -2 <0
Nên lim(nsinn - 2n3) = .
b/ Tìm lim
Giải
Ta có lim(nsinn - 2n3) = 
Nên lim= 0.
c/ Quy tắc 3:
 Nếu limun = L, limvn = 0 và vn>0 hoặc vn<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho trong bảng sau:
Dấu của L
Dấu của vn
+
+
-
-
+
-
+
-
Ví dụ 4: Tìm 
Giải
Chia tử và mẫu của phân thức cho n3 (n3 là luỹ thức cao nhất của tử và mẫu).Ta được: 
Vì; 
Và với mọi n 
Nên = 
H2: Tìm lim
Giải 
Chia tử và mẫu của phân thức cho n3
Ta được: 
Vì ; = 0
Và với mọi n
Nên lim = 
IV. Củng cố, dặn dò:
Học sinh nắm được các định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, các quy tắc tìm giới hạn vô cực.
Áp dụng các quy tắc làm các bài tập trang 142.
Lai vung, ngày 25, tháng 02, năm 2009
Giáo viên hướng dẫn	Người soạn	
	 (Ký duyệt)	
 Phạm Thị Thùy Trang	 Nguyễn Hoàng Khải