Giáo án Đại 11 CB tiết 37, 38: Phương pháp quy nạp toán học

Ngày soạn:01/12/2007 PHÖÔNG PHAÙP QUY NAÏP TOAÙN HOÏC
Tiết: 37-38
I.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT:
 	1.Kiến thức: Giúp học sinh hiểu được:
+ Phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định.
+ Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.
 2. Kĩ năng: Biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản.
 3. Về thái độ:
Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
 1.Chuẩn bị của giáo viên: Đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
 2.Chuẩn bi của học sinh: đọc trước bài ở nhà.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC:
Tiết 37: Phần I + Ví dụ 1 + HĐ2
Tiết 38: Phần còn lại + Luyện tập
Ổn định tổ chức lớp: Ổn tình hình lớp. (1’)
Kiểm tra bài cũ:
Giảng bài mới:
Giới thiệu bài mới: Từ trước tới nay những mệnh đề hay những công thức chứa biến là số tự nhiên n ta chỉ chấp nhận tính đúng đắng của mà vận dụng , chứ thông thường ta chưa biết phương pháp chứng minh như thế nào, để khắc phục được cách chứng minh những công thức hay những bài toán chứa biến tự nhiên n, hôm nay chúng ta nghiên cứu một phương pháp chứng minh mới ==> phương pháp chứng minh quy nạp. (1’)
Tiến trình tiết dạy:
ÿ Hoạt động 1: 
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
TL
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
7’
8’
1.a)
H: Hãy cho biết các mệnh đề P(1), P(2), P(3), P(4), P(5) và cho biết chân trị của mỗi mệnh đề?
H: Hãy cho biết các mệnh đề Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) và cho biết chân trị của mỗi mệnh đề?
b).
H: Từ khẳng định câu a ta có thể dự đoán được với mọi n ÎN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
GV: Phép thử với một vài trường hợp (n = 1,2,3,4,5) không phải là chứng minh cho trường hợp tổng quát
- Muốn chứng tỏ một kết luận đúng, ta phải chứng minh nóđúng trong mọi trường hợp. Phép c/m đó gọi là Phương pháp chứng minh quy nạp.
Dự kiến trả lời
à
+ P(1):“3 < 101” Đúng.
+ P(2):“32 < 102” Đúng.
+ P(3):“33 < 103” Đúng.
+ P(4): “34 < 104” Đúng.
+ P(5): “35 < 105” Sai.
à
+ Q(1): “2 > 1” Đúng.
+Q(2): “22 > 2” Đúng.
+ Q(3): “23 > 3” Đúng.
+ Q(4): “24 > 4” Đúng
+ Q(5): “25 > 5” Đúng.
b) à
P(n) sai, Q(n) đúng. 
1. Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” và 
Q(n): “2n > n”
a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) Với mọi n ÎN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
* Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ÎN* đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 2.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng đúng với một số tự nhiên bất kì 
 n = k ³ 1(gọi là giả thiết quy nạp)
 chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
Suy ra mệnh đề đúng với mọi 
n ÎN*
Đó là phương pháp quy nạp toán, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
ÿ Hoạt động 2: 
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG.
TL
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
23’
H: Hãy nhận xét vế ptrái của đẳng thức?
H: Khi n = 1, hãy so sánh VT và VP của đẳng thức?
H: Vậy n = 1 đẳng thức có đúng không?
H: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1,nghĩa là ta cóđẳngthức nào?
H: Ta phải cm đẳng thức đúng với n = k + 1, theo các em ta phải chứng minh đẳng thức nào?
H: Với giả thiết đẳng thức với n = k, dựa vào đó hãy chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là ta chứng minh đẳng thức đẳng thức (2) đúng.
2.
GV: Cho các tổ thảo luận trình bày các bước chứng minh đẳng thức (3), Cho một đại diện tổ I lên bảng trình bày
H: Bước 1: Khi n = 1, hãy cho biết kết quả VT, và VP của (3)?
H: Giả sử công thức đúng với n = k, nghĩa là ta có đt nào?
H: Ta phải cm đẳng thức đúng với n = k + 1, theo các em ta phải chứng minh đẳng thức nào?
H: Hãy trình bày cách cm bước n = k + 1?
Dự kiến trả lời
à Tổng n số tự nhiên lể liên tiếp đầu tiên.
à VT = 1, VP = 12 = 1
à Vậy đẳng thức với n = 1.
à 1 + 2 + + (2k – 1) = k2
à1 + 2 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2. (2)
à Ta có:1 + 2 + +(2k – 1) + [2(k + 1) – 1] 
 = k2 + [2(k + 1) – 1] 
 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
2.
Các tổ tích cực thảo luận để trình bày các bước giải chính xác.
à VT = 1 , VP = 1
à 1 + 2++ k = 
à 1 + 2++ k + (k + 1) 
 = 
à VT = + (k + 1).
 = .
Ví dụ: CMR với n ÎN* thì:
 1+ 3 + 5 + .+ (2n – 1) = n2(1)
Giải:
Bước 1: Khi n = 1 
VT chỉ có một số hạng bằng 1
VP = 12
Vậy hệ thức (2) đúng n = 1
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, nghĩa là
 1 + 2 + + (2k – 1) = k2
Ta phải CMR (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2.
Từ giả thiết quy nạp.
1 + 2 + +(2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = k2 + [2(k + 1) – 1] 
 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
Vậy hệ thức(1) đúng với mọi 
 nÎ N*
2. CMR với n Î N* thì:
1 + 2 +  + n = (3)
Giải:
Bước 1: Khi n = 1 
VT chỉ có một số hạng bằng 1
 VP = 1
Vậy hệ thức (3) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, nghĩa là
 1 + 2++ k = 
Ta phải cm đẳng thức đúng với 
n = k + 1, nghĩa là phải cm đẳng thức: 1 + 2++ k + (k + 1) 
 = 
VT = + (k + 1).
 = .
ÿ Hoạt động 3: Củng cố (5’)
Trắc nghiệm:
Câu 1: Tổng: 1 + 2 + + 102 bằng :
 A. 5253 B. 10506 C. 5202 D. 5356 (A)
Câu 2: Tổng: 1 + 3 + 5 + . + 291 bằng:
 A. 21025 B. 21316 C . 16502 D. Kết quả khác (B)
Câu 3: Tổng: 101 + 102 + +200 bằng:
 A. 20100 B. 5050 C. 15050 D. Kết quả khác (C)
Câu 4: Tổng 2 + 4 + .+ 102 bằng:
 A. 2652 B. 5253 C. 2601 D. Kết quả khác (A)
Tiết 38:
ÿ Hoạt động 4:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi n ÎN* thì An = n3 – n chia hết cho 3
TL
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
15’
GV: Cho bốn tổ thảo luận rồi giải ví dụ, cho một học sinh tổ 2 lên bảng trình bày.
H: Hãy kiểm chứng công thức khi n = 1?
H: Giả sử công thức đúng với n = k ³ 1, nghiã là ta có điều gì?
H: Ta phải chứng minh công thức đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh điều gì?
H: Hãy khai triển Ak+1 để vận dụng giả thiết quy nạp, chứng minh đươc. Ak+1M3?
H: Hãy nhận 2 số hạng của tổng Ak+1?
H: Nếu một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ³ p (pÎN*), theo các em dự đoán, ta phải cm như thế nào?
Dự kiến trả lời
àVới n = 1, ta có A1 = 0M3
à Ak = (k3 – k)M3
à Ak+1 = [(k+1)3-(k+1)] M3
à Ak+1= k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = (k3 – k) + 3(k2 + k)
 = Ak + 3(k2 + k)
à các số hạng chia hết cho 3 ==> Ak+1 chia hết cho 3.
à Bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Giải:
Bước 1: Với n = 1
 A1 = 0 M3
Bước 2: Giả sử n = k ³ 1, ta có
 Ak = (k3 – k) M3
 Ta phải chứng minh Ak+1M3
Thật vậy, ta có :
 Ak+1 = [(k+1)3-(k+1)]
 = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 
 = (k3 – k) + 3(k2 + k)
 = Ak + 3(k2 + k)
Vì AkM3 và 3(k2 + k) M3 nên 
 Ak+1M3
Vậy An = (n3 – n) M3 n ÎN*
CHÚ Ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 
n ³ p (p là một số tự nhien) thì:
Bước1 :Ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k ³ p và ta phải chứng mỉnh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
ÿ Hoạt động 4: LUYỆN TẬP
Giải bài tập 1 (SGK)
TL
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
24’
Giáo viên chia lớp thành bốn nhóm, giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm ( mỗi nhóm giải một câu)
Sau đó mỗi nhóm cử đại diện lên bảng trình bày cách giải.
H: Khi n = 1, thì mỗi vế của đt bằng bao nhiêu?
H: Hãy cho biết các chứng minh công thức ở bước 2?
GV Cho tiếp tục các nhóm trình bày lời giải.
b) 
c) 12 + 22 +  + n2 = 
2b) Bn = (4n + 15n – 1) M9
Các nhóm thảo luận đưa ra các cách chứng minh của từng câu.
a)
NH1: Câu a)
àn = 1: VT = 2, VP = 2
Vậy công thức với n = 1
à Giả sử công thức với 
 n = k ³ 1, ta có :
2 + 5 + 8 ++ (3k – 1) = 
Ta phải chứng minh công thức đúng với n = k+1, nghĩa là phải cm
2 + 5 + 8 ++ (3k – 1) + (3k +2) = 
Thật vậy: 
VT = + (3k + 2)
 = 
NH2: 1b)
NH3: 1c)
NH 4: 2b)
 Chứng minh rằng n ÎN*
2 + 5 + 8 ++ (3n – 1) = 
Giải:
a) Bước 1: n = 1 , VT = VP = 2
 Công thức đúng với n = 1
Bước 2: Giải sử công thức đúng với n = k ³ 1, nghĩa là ta có:
2 + 5 + + (3k – 1) = 
Ta phải chứng minh công thức với n = k+1, nghĩa là phải cm
2 + 5 + 8 ++ (3k – 1) + (3k +2) 
 = 
Thật vậy: 
VT = + (3k + 2)
 = 
Vậy công thức đúng với n = k + 1
Vậy công thứcđúngvới mọi nÎN*
2b)Chứng minh n ÎN*, thì
 Bn = (4n + 15n – 1) M9
Bước 1: n = 1
 B1 = 18 M9
Bước 2: Giả sử với n =k 
Giả sử Bk = (4k + 15k – 1) M9
Ta chứng minh Bk+1M9
Bk+1 = 4k+1 + 15(k+1) – 1.
 = 4Bk + 9(2 – 5k) chia hết cho 9 
ÿ Hoạt động 5: Củng cố (5’)
Tóm tắt lại các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Trắc nghiệm:
Câu 1: Tổng 2 + 5 + 8 + ..+ 299 bằng:
 A. 15050 B 15010 C. 351010 D. Kết quả khác (A)
Câu 2: Tổng gần bằng:
 A. 4 B 2 C. 3 D. 1 (D)
Câu 3: Tổng 12 + 22 + 32 +  + 602 bằng
 A. 7381 B. 73810 C.738110 D. Kết quả khác (B)
Hướng dẫn học ở nhà: (1’)
 + Học kĩ bài cũ 
 + Làm các bài tập còn lại trang 82- 83 (SGK)
 + Xem trước bài mới “DÃY SỐ” 
 IV. RÚT KINH NGHIÊM BỔ SUNG: