Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4 năm học 2013 - 2014

n, chỉ có 1/8 là trở thành phân số mà tử số là số lẻ. Vậy S là một phân số có tử số là số lẻ và mẫu số là số chẵn nên S không phải là số tự nhiên.Hướng 3 : Chứng minh 5/4 6 x 1/8 = 3/4nên S > 3/4 + 1/2 = 5/4Mặt khác : 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 < 4 x 1/4 = 1nên S < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/8 = 1 + 1/2 + 11/24 <2Vì 5/4 < S < 2 nên S không phải là số tự nhiên.
Bài 30 : Bạn Toàn nhân một số với 2002 nhưng “đãng trí” quên viết 2 chữ số 0 của số 2002 nên kết quả “bị” giảm đi 3965940 đơn vị. Toàn đã định nhân số nào với 2002 ?
Bài giải : Vì "đãng trí" nên bạn Toàn đã nhân nhầm số đó với 22.Thừa số thứ hai bị giảm đi số đơn vị là : 2002 - 22 = 1980 (đơn vị).Do đó kết quả bị giảm đi 1980 lần thừa số thứ nhất, và bằng 3965940 đơn vị.Vậy thừa số thứ nhất là : 3965940 : 1980 = 2003.Bài 31 : Người ta cộng 5 số và chia cho 5 thì được 138. Nếu xếp các số theo thứ tự lớn dần thì cộng 3 số đầu tiên và chia cho 3 sẽ được 127, cộng 3 số cuối và chia cho 3 sẽ được 148. Bạn có biết số đứng giữa theo thứ tự trên là số nào không ?
Bài giải : 138 là trung bình cộng của 5 số, nên tổng 5 số là : 138 x 5 = 690.Tổng của ba số đầu tiên là : 127 x 3 = 381.Tổng của ba số cuối cùng là : 148 x 3 = 444.Tổng của hai số đầu tiên là : 690 - 444 = 246.Số ở giữa là số đứng thứ ba, nên số ở giữa là : 381 - 246 = 135.
Bài 32 : Cho bảng ô vuông gồm 10 dòng và 10 cột. Hai bạn Tín và Nhi tô màu các ô, mỗi ô một màu trong 3 màu : xanh, đỏ, tím. Bạn Tín bảo : "Lần nào tô xong hết các ô cũng có 2 dòng mà trên 2 dòng đó có một màu tô số ô dòng này bằng tô số ô dòng kia". Bạn Nhi bảo : "Tớ phát hiện ra bao giờ cũng có 2 cột được tô như thế".Nào, bạn hãy cho biết ai đúng, ai sai ?
Bài giải : Giả sử số ô tô màu đỏ ở tất cả các dòng đều khác nhau mà mỗi dòng có 10 ô nên số ô được tô màu đỏ ít nhất là :0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (ô).Lí luận tương tự với màu xanh, màu tím ta cũng có kết quả như vậy.Do đó bảng sẽ có ít nhất 45 + 45 + 45 = 135 (ô). Điều này mâu thuẫn với bảng chỉ có 100 ô.Chứng tỏ ít nhất phải có 2 dòng mà số ô tô bởi cùng một màu là như nhau.Đối với các cột, ta cũng lập luận tương tự như trên. Do đó cả hai bạn đều nói đúng.Bài 33: Trong một cuộc thi tài Toán Tuổi thơ có 51 bạn tham dự. Luật cho điểm như sau: 
+ Mỗi bài làm đúng được 4 điểm. 
+ Mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm. 
Bạn chứng tỏ rằng tìm được 11 bạn có số điểm bằng nhau. 
Bài giải: Thi tài giải Toán Tuổi thơ có 5 bài. Số điểm của 51 bạn thi có thể xếp theo 5 loại điểm sau đây: 
+ Làm đúng 5 bài được: 
4 x 5 = 20 (điểm). 
+ Làm đúng 4 bài được: 
4 x 4 - 1 x 1 = 15 (điểm). 
+ Làm đúng 3 bài được: 
4 x 3 - 1 x 2 = 10 (điểm). 
+ Làm đúng 2 bài được: 
4 x 2 - 1 x 3 = 5 (điểm). 
+ Làm đúng 1 bài được: 
4 x 1 - 1 x 4 = 0 (điểm). 
Vì 51 : 5 = 10 (dư 1) nên phải có ít nhất 11 bạn có số điểm bằng nhau. 
Bài 34: 
Vũ Hữu cùng với Lương Thế VinhHai nhà toán học, một năm sinhThực hành, tính toán đều thông thạoVẻ vang dân tộc nước non mình 
Năm sinh của hai ông là một số có bốn chữ số, tổng các chữ số bằng 10. Nếu viết năm sinh theo thứ tự ngược lại thì năm sinh không đổi. Bạn đã biết năm sinh của hai ông chưa? 
Bài giải: Gọi năm sinh của hai ông là abba (a ≠ 0, a < 3, b <10). 
Ta có: a + b + b + a = 10 hay (a + b) x 2 = 10. Do đó a + b = 5. 
Vì a ≠ 0 và a < 3 nên a = 1 hoặc 2. 
* Nếu a = 1 thì b = 5 - 1 = 4. Khi đó năm sinh của hai ông là 1441 (đúng). 
* Nếu a = 2 thì b = 5 - 2 = 3. Khi đó năm sinh của hai ông là 2332 (loại). 
Vậy hai ông Vũ Hữu và Lương Thế Vinh sinh năm 1441. 
Bài 35: Tâm giúp bán cam trong ba ngày, Ngày thứ hai: số cam bán được tăng 10% so với ngày thứ nhất. Ngày thứ ba: số cam bán được giảm 10% so với ngày thứ hai. Bạn có biết trong ngày thứ nhất và ngày thứ ba thì ngày nào Tâm bán được nhiều cam hơn không? 
Bài giải: Biểu thị số cam bán ngày thứ nhất là 100% thì số bán ngày thứ hai là: 100% + 10% = 110% (số cam ngày thứ nhất) 
Biểu thị số cam bán ngày thứ hai là 100% thì số bán ngày thứ hai là: 
100% - 10% = 90% (số cam ngày thứ hai) 
So với ngày thứ nhất thì số cam ngày thứ ba bán là: 
110% x 90% = 99% (số cam ngày thứ nhất) 
Vì 100% > 99% nên ngày thứ nhất bán được nhiều cam hơn ngày thứ ba. 
Bài 36: Cu Tí chọn 4 chữ số liên tiếp nhau và dùng 4 chữ số này để viết ra 3 số gồm 4 chữ số khác nhau. Biết rằng số thứ nhất viết các chữ số theo thứ tự tăng dần, số thứ hai viết các chữ số theo thứ tự giảm dần và số thứ ba viết các chữ số theo thứ tự nào đó. Khi cộng ba số vừa viết thì được tổng là 12300. Bạn hãy cho biết các số mà cu Tí đã viết. 
Bài giải : Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp từ nhỏ đến lớn là a, b, c, d. 
Số thứ nhất cu Tí viết là abcd, số thứ hai cu Tí viết là dcba. 
Ta xét các chữ số hàng nghìn của ba số có tổng là 12300: 
a là số lớn hơn 1 vì nếu a = 1 thì d = 4, khi đó số thứ ba có chữ số hàng nghìn lớn nhất là 4 và tổng của ba chữ số này lớn nhất là: 
1 + 4 + 4 = 9 < 12; như vậy tổng của ba số nhỏ hơn 12300. 
a là số nhỏ hơn 5 vì nếu a = 5 thì d = 8 và a + d = 13 > 12; như vậy tổng của ba số lớn hơn 12300. 
a chỉ có thể nhận 3 giá trị là 2, 3, 4. 
- Nếu a = 2 thì số thứ nhất là 2345, số thứ hai là 5432. Số thứ ba là: 12300 - (2345 + 5432) = 4523 (đúng, vì số này có các chữ số là 2, 3, 4, 5). 
- Nếu a = 3 thì số thứ nhất là 3456, số thứ hai là 6543. 
Số thứ ba là : 
12300 - (3456 + 6543) = 2301 (loại, vì số này có các chữ số khác với 3, 4, 5, 6). 
- Nếu a = 4 thì số thứ nhất là 4567, số thứ hai là 7654. Số thứ ba là: 
12300 - (4567 + 7654) = 79 (loại). 
Vậy các số mà cu Tí đã viết là : 2345, 5432, 4523. 
Bài 37: Có 7 thùng đựng đầy dầu, 7 thùng chỉ còn nửa thùng dầu và 7 vỏ thùng. Làm sao có thể chia cho 3 người để mọi người đều có lượng dầu như nhau và số thùng như nhau ? 
Bài giải: Gọi thùng đầy dầu là A, thùng có nửa thùng dầu là B, thùng không có dầu là C. 
Cách 1: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 
Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C. 
Người thứ hai nhận: 2A, 3B, 2C. 
Người thứ ba nhận: 2A, 3B, 2C. 
Cách 2: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 
Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C. 
Người thứ hai nhận: 3A, 1B, 3C. 
Người thứ ba nhận: 1A, 5B, 1C. 
Cách 3: Đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 
Lấy 4 thùng chứa nửa thùng dầu (4B) đổ đầy sang 2 thùng không (2C) để được 2 thùng đầy dầu (2A). Khi đó có 9A, 3B, 9C và mỗi người sẽ nhận được như nhau là 3A, 1B, 3C. 
Bài 38: Mỗi đỉnh của một tấm bìa hình tam giác được đánh số lần lượt là 1; 2; 3. Người ta chồng các tam giác này lên nhau sao cho không có chữ số nào bị che lấp. Một bạn cộng tất cả các chữ số nhìn thấy thì được kết quả là 2002. Liệu bạn đó có tính nhầm không ? 
Bài giải: Tổng các số trên ba đỉnh của mỗi hình tam giác là 1 + 2 + 3 = 6. Tổng này là một số chia hết cho 6. Khi chồng các hình tam giác này lên nhau sao cho không có chữ số nào bị che lấp, rồi tính tổng tất cả các chữ số nhìn thấy được phải có kết quả là số chia hết cho 6. Vì số 2002 không chia hết cho 6 nên bạn đó đã tính sai.
Bài 39: Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ do thành phố tổ chức đạt được 15 giải. Hỏi đội tuyển học sinh giỏi đó có bao nhiêu học sinh? Biết rằng: 
Học sinh nào cũng có giải. 
Bất kỳ môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh chỉ đạt 1 giải. 
Bất kỳ hai môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn. 
Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 3 môn. 
Tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần. 
Bài giải: 
Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh) 
Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh) 
Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh) 
Tổng số giải đạt được là: 
3 x a + 2 x b + c = 15 (giải). 
Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c. 
Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên: 
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán. 
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ. 
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ. 
Do vậy b= 3. 
Giả sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là: 
3 x 2 + 2 x 3 + 4 = 16 > 15 (loại). Do đó a < 2, nên a = 1. 
Ta có: 3 x 1 + 2 x b + c = 15 suy ra: 2 x b + c = 12. 
Nếu b = 3 thì c = 12 - 2 x 3 = 6 (đúng). 
Nếu b = 4 thì c = 12 - 2 x 4 = 4 (loại vì trái với điều kiện b < c) 
Vậy có 1 bạn đạt 3 giải, 3 bạn đạt 2 giải, 6 bạn đạt 1 giải. 
Đội tuyển đó có số học sinh là: 
1 + 3 + 6 = 10 (bạn). 
Bài 40: 20 Giỏ dưa hấu 
Trí và Dũng giúp bố mẹ xếp 65 quả dưa hấu mỗi quả nặng 1kg, 35 quả dưa hấu mỗi quả nặng 2kg và 15 quả dưa hấu mỗi quả nặng 3kg vào trong 20 giỏ. Mọi người cùng đang làm việc, Trí chạy đến bàn học lấy giấy bút ra ghi... ghi và Trí la lên: “Có xếp thế nào đi chăng nữa, chúng ta luôn tìm được 2 giỏ trong 20 giỏ này có khối lượng bằng nhau”. 
Các bạn hãy chứng tỏ là Trí đã nói đúng. 
Bài giải: 
Tổng khối lượng dưa là: 
1 x 65 + 2 x 35 + 3 x 15 = 180 (kg). 
Giả sử khối lượng dưa ở mỗi giỏ khác nhau thì tổng khối lượng dưa ở 20 giỏ bé nhất là: 
1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = 210 (kg). 
Vì 210 kg > 180 kg nên chắc chắn phải có ít nhất 2 giỏ trong 20 giỏ có khối lượng bằng nhau. Vậy Trí đã nói đúng. 
Bài 41: Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn, rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng. 
Tính giá tiền 1 quyển vở, biết rằng cả ba bạn đều mua cùng một loại vở. 
Bài giải: 
Vì Hoàng và Hùng góp số vở của mình với số vở của Sơn, rồi chia đều cho nhau, nên tổng số vở của ba bạn là một số chia hết cho 3. Số vở của Hoàng và Hùng đều chia hết cho 3 nên số vở của Sơn cũng là số chia hết cho 3. 
Số vở của Sơn phải ít hơn 6 vì nếu số vở của Sơn bằng hoặc nhiều hơn số vở của Hoàng (6 quyển) thì sau khi góp vở lại chia đều Sơn sẽ không phải trả thêm 800 đồng. Số vở của Sơn khác 0 (Sơn phải có vở của mình thì mới góp chung với các bạn được chứ!), nhỏ hơn 6 và chia hết cho 3 nên Sơn có 3 quyển vở. 
Số vở của mỗi bạn sau khi chia đều