Giải toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

ượt là trung điểm của A’D’ và B’B.
a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC’
b) Chứng minh rằng D’B vuông góc với mp(A’C’D), D’B vuông góc với mp(ACB’)
c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A/D
Lời giải:
a) Giả sử hình lập phương có độ dài các cạnh bằng a.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ, đơn vị trên trục bằng đơn vị độ dài.
Khi đó:
A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0)
A’(0;0;a) ; B’(0;a;a); C’(a;a;a); D’(a;0;a) 
Suy ra , 
 = 0 
 Vậy 
b) Để chứng minh :
Cách 1: Ta chứng minh
Ta có: ;; 
 Nên 
Cách 2: Ta có: 
Mặt phẳng (A’C’D) có véctơ pháp tuyến 
Đường thẳng D’B có véctơ chỉ phương 
 Suy ra nên đường thẳng D’B(A’C’D)
Tương tự ta chứng minh được .
c) Gọi là góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D thì
Có thể nhận xét: 
Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) là trọng tâm tam giác AB’D’.
b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và mp (C’BD).
c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’).
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài). 
Khi đó: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0); A’(0;0;a); B’(a;0;a); C’(a;a;a) ; D’(0;a;a)
a) Ta có: 
Đường thẳng A’C có véc tơ chỉ phương: 
Đường thẳng A’C có phương trình tham số là: x = t; y = t; z = a - t (1)
 Mặt phẳng (AB’D’) có véc tơ pháp tuyến 
 Mặt phẳng (AB’D’) có phương trình là x + y - z = 0. (2)
 Từ (1) và (2) giao điểm G của A’C và (AB’D’) là .
 Mặt khác nếu G’ là trọng tâm tam giác AB’D’ thì 
Tức là . Vậy G là trọng tâm tam giác AB’D’.
b)Phương trình mp(C’BD) là x + y - z - a = 0
Suy ra mp(C’BD)//mp(AB’D’)
Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (C’BD) và bằng :
c)Mặt phẳng(ABB’A’) có phương trình là y = 0
Mặt phẳng(DA’C) có phương trình là y + z - a = 0
Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng trên. Khi đó:
 Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại thương TP. Hồ Chí Minh 2001-2002)
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh bằng a.
Giả sử M,N lần lượt là trung điểm của BC và DD’.
 a) Chứng minh rằng MN// (A’BD).
 b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a.
 Lời giải:
 Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài)
Khi đó: AO ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A’(0;0;a) ; D’(0;a;a); M(a;;0); N(0;a; )
a) mp(A’BD) có véctơ pháp tuyến ;	
mặt khác 
 Hay MN//mp(A’BD).
b) Mặt phẳng (A/BD) có phương trình: x + y + z - a = 0.
Vì MN//(A’BD)BD và MN, BD chéo nhau
 Trong bài toán ta có thể chọn hệ trục toạ độ khác nhưng khi lập phương trình mp(A’BD) ta phải tính toạ độ véctơ pháp tuyến mà không sử dụng được phương trình theo đoạn chắn như cách chọn trên.
 Bài 4: ( Đề thi Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông 2001-2002)
 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB=a ; AD=2a; AA’=a.
a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho .Tính khoảng cách từ M đến (AB’C)
b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C.
 Lời giải: 
a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz như hình vẽ 
Khi đó ta có:
A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0); A’(0;0;a); B’(0;a;a)
C’(2a;a;a) ; D’ (2a;0;a). Vì M AD thoả mãn 
Mp(AB’C) có phương trình: x- 2y + 2z = 0. Do đó khoảng cách từ M đến mp(AB’C) là:
b) Theo công thức . Mà
Bài 5: Bài tập số 7. Ôn tập chương 2- SGK HH12)
 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc AD’ và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = k 
a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB và MN song song với A’C.
Lời giải:
 a) Chọn hệ trục toạ độ Đề các Axyz như hình vẽ Khi đó ta có:
A(0;0;0); B(a;0;0) ; C( a;a;0); 
D(0;a;0); A’(0;0;a); D’(0;a;a) ; 
Do AM = k 
 DN = k 
Xét hàm số 
 Đoạn thẳng MN nhỏ nhất nhỏ nhất
b) mp(A’D’BC) có véc tơ pháp tuyến 
 Đường thẳng MN song song với mặt phẳng(A’D’BC)
c) Khi MN ngắn nhất thì theo câu a : . Khi đó 
Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.
 Ta có 
Bài 6: Tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương và đường chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập phương bằng a.
Lời giải: 
Giả sử hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz như hình vẽ. OA, đơn vị trên trục là đơn vị độ dài.
 Ta tìm khoảng cách giữa đường chéo D’B của hình lập phương và đường chéo AB’ của mặt bên (ABB’A’)
Với hệ toạ độ đã chọn ta có: 
A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C(a;a;0); B’(0;a;a); D’(a;0;a)
Đường thẳng AB’ có véctơ chỉ phương và đi qua điểm A(0;0;0).
Đường thẳng D’B có véctơ chỉ phương và đi qua điểm B(0;a;0).
 Vận dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ta có:
 Bài 7: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đường thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy điểm C.
 a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
 b) Từ O vẽ OH (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
 c) Chứng minh rằng 
Lời giải:
Giả sử OA= a, OB= b, OC= c.
Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz như hình vẽ. Ta có: A(a;0;0); B(0;b;0) C(0;0;c).
Bằng phương pháp toạ độ, dễ dàng chứng minh được
 OA ^ BC, OB ^ BC, OC ^ AB. Vậy tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
 b)Vì A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz nên mp(ABC) có phương trình 
 (1)
 Vì nên OH có véctơ chỉ phương là 
Do đó phương trình tham số của đường thẳng OH: (2)
 Vì nên toạ độ H(x;y;z) là nghiệm của hệ gồm (1) , (2)
Do đó: 
 Tương tự ta cũng chứng minh được BHAC. Vậy H là trực tâm ABC.
c) Ta có: 
 Bài 8: ( Bài tập số 9 bài 9. Góc SGK Hình 12)
Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O. 
Gọi là góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
Tam giác ABC có 3 góc nhọn.
Lời giải
 Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Giả sử OA=a, OB=b, OC=c;
 Khi đó A=(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c); 
 a) Ta có: 
 góc nhọn
 Chứng minh tương tự ta cũng có góc B và góc C nhọn. Suy ra ABC có 3 góc nhọn.
b)Phương trình mặt (ABC) là: 
Phương trình các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB); lần lượt là x=0; y=0; z=0
Véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng (ABC); (OBC); (OCA); (OAB); lần lượt là:
Do đó : 
== 1 (đpcm)
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đường cao bằng b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC.
Lời giải:
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao hạ từ S là tâm O của đáy; SO (ABCD)
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (với I, J lần lượt là trung điểm AB, BC).
Khi đó ta có: A; B; C; D; S(0;0;b)
M là trung điểm SC nên M; ; 
==
Mặt phẳng (ABM) đi qua A nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABM):
 2abx + 3a2z - a2b = 0
Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABM) là: d = 
Đối với bài toán trên ta có thể chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho tia Ox là tia OA, tia Oy là tia OB cũng có thể giải quyết được.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đường cao SO mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC, AB.
Giải: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, ( với I,J lần lượt là trung điểm AB, BC) đơn vị trên trục là đơn vị độ dài. 
Khi đó: A; B; C; D; S(0;0;a)
Đường thẳng SC có véctơ chỉ phương là: .
Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương: 
Ta có: ==
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB là:
d====(đvđd)
Bài 11: ( Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B 2006)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a và SA mp(ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
Chứng minh rằng mp(SAC) (SMB).
Tính thể tích khối tứ diện ANIB. 
Lời giải: 
 Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ.
 Khi đó ta có: 
A(0;0;0); B(a;0;0); D(0; a;0); S(0;0;a); C(a; a ;0).
M(0;;0); N()
mp(SAC) có véctơ pháp tuyến 
mp(SMB) có véctơ pháp tuyến 
b) Phương trình đường thẳng BM: 
Phương trình đường thẳng AC: 
Thể tích tứ diện ANIB là: 
 =
 Bài 12: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SAmp(ABC) ;
 SA = 2a
 Gọi là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC.
Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp.
Lời giải Vì ABC đều nên BI AC . Mặt khác BI SA BI mp(SAC) 
 BI SC (1).
 Trong (SAC) kẻ IK SC tại K (2)
Từ (1) và (2)
 Khi đó ta có BIK chính là thiết diện của tứ diện SABC bị cắt bởi mp qua B và vuông góc với SC.
Ta chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ.
 Ta có: A(0;0;0) B(); C(a;0;0) ; S(0;0;2a). Gọi I là trung điểm AC . 
Mặt phẳng (BIK) qua I và nhận véctơ l
àm véctơ pháp tuyến nên có phương trình:
 ( Vì a>0)
 Phương trình tham số của đường thẳng SC: 
 nên toạ độ K là nghiệm x, y, z của hệ:
 Vì IBK vuông ở I (do BI mp(SAC) BI IK ) 
 Không chỉ giải được những bài toán trong giả thiết có xuất hiện quan hệ vuông góc mà bằng cách chọn hệ toạ độ thích hợp ta cũng có thể giải được một số bài toán chứng minh khác trong giả thiết chưa có sẵn các yếu tố xuất hiện hệ trục toạ độ.
 Hai ví dụ sau minh hoạ điều đó.
 Bài 13: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó.
Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 
Lời giải : 
a) Trong hệ trục toạ độ Oxyz. 
 Giả sử A(x1;y1;z1); B(x2;y2;z2); C(x3;y3;z3); D(x4;y4;z4). G là trọng tâm của tứ diện
 Ta có A’ là trọng tâm của tam giác BCD
 thẳng hàng.
Hay đường thẳng qua G và đỉnh A đi qua trọng tâm tam giác BCD.
Vì vai trò các đỉnh của tứ diện như nhau nên các đường thẳng nối các đỉnh khác với trọng tâm tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó.
b) Từ (*) ta suy ra 
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm những điểm M trong không gian sao cho: MA2 MB2 + MC2
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ. Khi đó giả sử A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;b;0). Gọi M(x;y;z). Ta có: MA2 MB2 + MC2 
x2 + y2 + z2 (x-a)2 + y2 + z2 + x2 + (y-b)2 + z2
(x - a)2 + (y - b)2 + z2 0
Tức trong không gian có duy nhất một điểm thoả mãn yêu cầu bài toán. Đó là đỉnh thứ tư ABMC là hình chữ nhật
CABM t