Giải toán bằng cách lập hệ phương trình - Trịnh Thị Đông

 chồng chéo lên nhau, hoặc phủ định lẫn nhau. Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác . 
Chương III : Phân loại các bài toán giải bằng cách
lập hệ phương trình
1) Dạng toán chuyển động
2) Dạng toán năng xuất lao động (sớm – muộn, trước – sau):
3) Dạng toán về công việc ( “làm chung – làm riêng”, vòi nước chảy)
4) Dạng toán về tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)
5) Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
6) Dạng toán có nội dung hình học.
7) Dạng toán về tìm số và chữ số.
* Trong phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với học sinh đại trà mà tôi đang dạy thì tôi chỉ hướng dẫn kì học sinh 5 dạng toán :
 I: Dạng toán chuyển động 
 II: : Dạng toán về công việc(làm chung-làm riêng, vòi nước chảy) 
 III Dạng toán liên quan đến tỷ lệ phần trăm
 IV: Dạng toán có nội dung hình học 
 V: Dạng toán về tìm số và chữ số
 VI: Một số dạng toán khác. 
Chương IV: những bài toán cụ thể hướng dẫn 
học sinh thực hiện giải
I- Dạng toán chuyển động:
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quaừng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t; .
Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 thì vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là 
v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 - v2 
- Nếu ẩn là vận tốc, thời gian, chiều dài thỡ điều kiện phải dương
Trong dạng toán chuyển động giáo viên cần chú ý cho học sinh ba loại toán sau
Bài toỏn thay đổi vận tốc trờn đường đi
Bài1: Một người đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc giảm 3 km/h thì đến B muộn 3 giờ. Tính quãng đường AB, vận tốc và thời gian dự định.
Vụựi baứi toaựn naứy giaựo vieõn hửụựng daón hoùc sinh laọp baỷng phaõn tớch ủaùi lửụùng 
 v
 t
 s
Dửù ủũnh
 x
 y
 xy
Thay ủoồi 1
x + 3
y - 2
(x + 3)(y – 2)
Thay ủoồi 2
x – 3
y + 3
(x – 3)(y + 3)
Lửu yự ủaùi lửụùng khoõng thay ủoồi laứ chieàu daứi quaừng ủửụứng AB.
 Giaỷi.
Gọi vận tốc của người đi từ A đến B là x (km/h) ; x > 0
Gọi thời gian dự định đi là y (h) ; y > 2.
Quãng đường AB là xy (km)
Vỡ vaọn toỏc taờng 3 km/h thỡ ủeỏn B sụựm hụn 2 giụứ neõn ta coự phửụng trỡnh:
 (x + 3)(y – 2) = xy
Vỡ vaọn toỏc giaỷm 3 km/h thỡ ủeỏn B muoọn hụn 3 giụứ neõn ta coự phửụng trỡnh: 
(x – 3)(y + 3) = xy
Ta coự heọ: 
=> x = 15 vaứ y = 12
Vaọy vaọn toỏc laứ 15 km/h; thụứi gian dửù ủũnh laứ 12 h vaứ quaừng ủửụứng AB dài là
15.12 = 180km
Chuyeồn ủoọng coự hai ủoỏi tửụùng tham gia ( Cuứng chieàu vaứ ngửụùc chieàu)
Bài 2: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. 
+ Hướng dẫn học sinh vẽ bảng phân tích đại lượng và chú ý cho học sinh trong chuyển động ngược chiều thì chiều dài quãng đường bằng tổng chiều dài 2 quãng đường của hai chuyển động.
 Giải
Goùi x, y (km/h) laứ vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự nhaỏt vaứ thửự hai (x, y > 0)
Vỡ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, hai xe đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ nên ta coự phửụng trỡnh: 2x + 2y = 160
Vì ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B neõn: x + 10 = 2y 
Ta coự heọ phửụng trỡnh: 
Vaọy vaọn toỏc cuỷa moói xe laứ 50km/h; 30km/h.
 Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km mất 7 h . Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng mất 7 h . Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nước cần lưu ý : 
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước 
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước
 - Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )
 	 Vận tốc dòng nước là y ( km/h ) ( x > y > 0 )
 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
 Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất : 
 Ca nô ngược dòng 63 km mất : 
Ta có phương trình : (1)
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất : 
	Ca nô ngược dòng 84 km mất : 
 Ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Đặt . Ta có:
(I)	 108a + 63b = 7	(II)
	 81a + 84b = 7
Giải hệ phương trình (II) ta được:
(t/m)
vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h
 	 Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên tôi đã phần nào hình thành cho học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình. 
 Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian. Thông thường một trong ba đại lượng đó sẽ được chọn là ẩn số ( với điều kiện tương ứng); Một đại lượng đã được xác định; ta phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ
trong bài toán để lập phương trình ( hệ phương trình).
Trong quá trình dạy học tôi thường chia nhỏ các dạng toán trong các dạng toán lớn để học sinh chủ động hơn khi tìm hiểu bài và làm bài
Ví dụ: Trong toán chuyển động có thể chia làm nhiều dạng nhỏ như.
Nếu 2 chuyển động ngược chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu.
Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 - S2 bằng khoảng cách ban đầu ( S1 > S1).
Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:
Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về.
Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm = Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu + thời gian nghỉ 
( nếu có).
II.Dạng toán về công việc“làm chung – làm riêng”, vòi nước chảy) Với dạng toán này giáo viên cần làm cho học sinh hiểu: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong một công việc hết x ngày (giờ, phút...) thì trong một ngày(giờ, phút...) làm được 1/x công việc và tỉ số 1/x chính là năng xuất lao động trong một ngày (giờ, phút...).
Chú ý với dạng toán này chỉ được phép cộng cột năng suất, không được phép cộng cột thời gian.
Giaựo vieõn hửụựng daón hoùc sinh laọp baỷng phaõn tớch ủaùi lửụùng
Bài 1 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
 Thời gian(h)
Khối lượng công việc làm trong 1h
KHCV
 Người 1
 x
 Người 2
 y
 Cả hai người
 16
 Giải:
Gọi thời gian một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)
Gọi thời gian một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ người thứ nhất làm được công việc
Trong một giờ người thứ hai làm được công việc.
Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được công việc. Ta có phương trình: 
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì được công việc. Ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Bài 2. Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ. Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu? 
 Giải:
Gọi thời gian đội I làm xong công việc một mình là x (giờ). x>12.
 thời gian đội II làm xong công việc một mình là y (giờ). x>12
Mỗi giờ tổ I làm được 1/x công việc, đội II làm được 1/y cv, cả hai đội làm được 1/12cv
Theo bài ra ta có hệ phương trình : . 
+) Cách 2:Giáo viên hướng dẫn học sinh lập phương trình 2 theo cách khác.
Trong 10 giờ người thứ hai làm được: (phần công việc)
Trong 4 giờ cả hai người làm được: (phần công việc)
Theo đề bai hai người làm chung trong 4 giờ sau đó người thứ hai làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được x = 15
Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ.
Giáo viên chốt kiến thức : với cách làm này ta có được phương trình 2 chỉ có một ẩn nên cách giải hệ phương trình sẽ đơn giản hơn.
Bài 3: Hai vũi nước chảy cựng vào 1 bể khụng cú nước thỡ trong 6 giờ đầy bể. Nếu vũi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vũi thứ 2 chảy trong 3 giờ thỡ được bể. Hỏi mỗi vũi chảy bao lõu thỡ sẽ đầy bể?
 Giaỷi
Gọi thời gian vũi I chày một mỡnh đầy bể là x (h) ; x>6
 Thời gian vũi II chảy một mỡnh đầy bể là y(h) ; y>6
Trong 1 h :Vũi I chảy được 1/x bể
 Vũi II chảy được 1/y bể
 Caỷ hai voứi chaỷy ủửụùc beồ
Ta coự phửụng trỡnh (1)
Trong 2 giụứ voứi I chaỷy ủửụùc beồ
Trong 3 giụứ voứi II chaỷy ủửụùc beồ 
Ta coự phửụng trỡnh (2)
Tửứ (1) vaứ (2) ta coự HPT 
III- Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc.
Goùi soỏ thoực naờm ngoaựi cuỷa ủv1 thu hoạch được laứ x (taỏn)
 Goùi soỏ thoực naờm ngoaựi cuỷa ủv2 hoạch được laứ y (taỏn)
Soỏ thoực naờm nay ủv1 thu ủửụùc laứ x.115% =
 ủv2 thu ủửụùc laứ y.112%=
Ta coự heọ 
Vaọy soỏ thoực naờm ngoaựi cuỷa ủoọi 1 thu ủửụùc laứ 420 taỏn
 soỏ thoực naờm ngoaựi cuỷa ủoọi 2 thu ủửụùc laứ 300 taỏn
Bài 2: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?
Giải :Gọi số chi tiế