Giải phương trình đại số có dạng đặc biệt nhờ phương pháp lượng giác hóa

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không!Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng. 
I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
CÁCH CHỌN ẨN PHỤ
 hoặc 
hoặc 
 hoặc 
(giống )
(giống )
 (giống )
 (giống )
II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải phương trình : 
Giải :
+ ĐK : ẩn phụ với . 
+ Khi đó ; 
+ Ta có phương trình : 
+ Đặt 
+ Vì : 
+ Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được : (*)
+ PT (*) có các nghiệm là : (loại)
+ Với 
+Vơi 
 Vậy là nghiệm PT : 
+ Vì 
 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là : và 
Ví dụ 2: Giải phương trình : với tham số 
 Giải : 
+ Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được : . 
+ Vì nên tồn tại góc để cho .
+ Thu được phương trình : 
+ Hàm số là hàm nghịch biến và ta có :
 . 
+ Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình :
Giải :
+ ĐK : ẩn phụ với 
+ Khi đó ; 
+ Phương trình đã cho có dạng lượng giác là : (1)
+ Vì (do nên )
+ Biến đổi (1) được : 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 
Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :
 (1)
Giải : Điều kiện : .
+ 
+ Vì : sao cho :
 và với 
+ Xét hàm số : 
+ nghịch biến trên đoạn và 
+ Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi : 
Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : (1) 
 Giải : ĐK :
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
(Nhận xét : để đặt ẩn phụ) 
+ Đặt với 
 + (1) .
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 
+ Do điều kiện m>0 ta có : 
Ví dụ 6 : Trên đoạn phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :
 Giải : 
+ Vì nên tồn tại góc sao cho 
+ Ta có ph. trình: (*)
+ Nhận thấy không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho 
 ta được : 
 ; 
+ Vì suy ra các nghiệm : ; ; ;
Ví dụ 7 : Cho hai phương trình :
 (1) và (2)
 Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1). Ch. minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình (2) .
 Giải : 
+ 
+ Đặt với t > 0. Khi đó phương trình (1) trở thành : . 
+ Xét , đặt ta được 
+ Vì nên suy ra 
+Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm . Mặt hác 
và do đó nghiệm của phương trình (1) là : .
+ Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2) 
Ví dụ 8 : Giải phương trình : 
 Giải: Điều kiện: . Đặt Thu được PT mới có dạng LG như sau : 
 + Đặt : 
+ ĐK : 
+ Ta có PT : 
+ 
Ví dụ 9 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : (1) 
 Giải : ĐK :
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
(Nhận xét : để đặt ẩn phụ) 
+ Đặt với 
 + (1) .
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 
+ Do điều kiện m>0 ta có : 
Ví dụ 10 : Giải phương trình : 
 Giải: Điều kiện: . Đặt Thu được PT mới có dạng LG như sau : 
 + Đặt : 
+ ĐK : 
+ Ta có PT : 
+ 
Ví dụ 11: Cho phương trình :(1)
a) Giải PT (1) khi m= 3
b) Tìm m để PT (1) có nghiệm.
 Giải :
+ Với điều kiện: , ta đặt : ; 
 a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 sint+cost+3sint.cost = 1 (2)
+ Đặt : ĐK :
Ví dụ 12: Giải phương trình sau : 
Giải:
+ Điều kiện :
+ Với : thì (ptvn)
+ ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: 
 vậy phương trình có nghiệm : 
Ví dụ 13: Giải phương trình sau: 
Giải: 
+ Lập phương 2 vế ta được:
+ Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình 
bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ 14: Giải phương trình =1
Giải: đk: , ta có thể đặt 
+ Khi đó ptt: 
+ Phương trình có nghiệm : 
Ví dụ 15: .Giải phương trình : 
Giải: đk 
+ Ta có thể đặt : 
+ Khi đó ta có phương trình:
+ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 
Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình :
Ví dụ 16: Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt: 
Hướng dẫn:
+ ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét 
 Hệ tương đương với 
+ Sự có mặt các vế phải của các pt liên hệ đến công thức lượng giác đặt 
 Ngiệm của hệ là 
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn:
+ Lưu ý : và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng )
 xét x, y, z > 0
+ Sự xuất hiện các biểu thức dạng chung là ẩn phụ : 
+ Sử dụng định lý hàm số sin
Ví dụ 18: Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm :
Hướng dẫn:
+ Đk : đặt x = cos hệ pht : 
+ Đk hệ đã cho có nghiệm ó (*) có nghiệm t/m đkiện sin > 0
III BÀI TẬP 
 Bài 1 : Giải phương trình : 
+ ĐK: ẩn phụ 
Bài 2 : Giải phương trình sau :
 ( HDẫn : Đặt )
Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :
 	( H.Dẫn : Đặt )
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 ) 
 (HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt )
Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : 
 ( HD: Đk: ; Đặt : ;)
 Bài 6: Giải phương trình sau : ( Đặt )
 Bài 7: Giải phương trình : ( Đặt : )
 Bài 8 : Tìm m để PT sau có nghiệm : 
 Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C): 
 Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho (x0+y0) nhỏ nhất.
HD : đặt : 
Bài 10 : Cho phương trình : 
 Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm và thỏa điều kiện: 
 Bài 11 : Giải phương trình : 
 với tham số 
 Bài 12: Giải phương trình : ( Đặt )
 Bài 13 : Giải các hệ phương trình sau : 
 HD : Rút x; y; z và đặt 
 Bài 14 : Giải các hệ phương trình sau : 
 HD : Đăt .
 Bài 15: Giải các phương trình sau : 
 HD: vì nên đặt x=cost
 ĐS: 
 3) HD: chứng minh vô nghiệm 
---------------Tạm dừng-----------