Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
Phương trình dạng x4+ax2+bx+c=0 (*)
Cách giải chung: phân tích 
 sau đó ta đồng nhất hệ số. 
Từ (1) ta có: ; từ (2) ta có thế vào (3) ta được :
.
Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức:
z4-24z-32=0
Giải:
Ta có: 
Đồng nhất hệ số ta có: . Để giải hệ (1), (2), (3) ta rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3).
Từ (1) ta có: ; từ (2) ta có thế vào (3) ta được :
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
Giải :
Ta có: 
Đồng nhất hệ số ta có: . 
Từ (1) ta có: ; từ (2) ta có thế vào (3) ta được :
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 .
Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1 bằng cách đặt : , khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu.
Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
 (1)
Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành:
Ta có : 
Đồng nhất hệ số ta có: . 
Từ (3) ta có: ; từ (4) ta có thế vào (5) ta được :
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6.
Vậy phương trình (6) trở thành:
Phương trình (6) có 6 nghiệm là : 
Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là: 
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức : 
Giải :
 Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành :
Ta có : 
Đồng nhất hệ số ta có: . 
Từ (1) ta có: ; từ (2) ta có thế vào (3) ta được :
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình (4) trở thành:
Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z.
Một số bài tập tương tự :
Giải các phương trình sau trên trường số phức :
a. 
b. 
c. 
d. 
e.