GA Đại số & Giải tích 11 tiết 387: Phương pháp quy nạp toán học

Tiết PPCT :38
Ngày dạy :
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1.Mục đích 
	a) Kiến thức :
Ÿ Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Ỵ N.
	b) Kĩ năng :
Ÿ Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Ỵ N.
Ÿ Vận dụng giải một số bài tập đơn giản trong sgk
	c) Tư duy và thái độ : 
Ÿ Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác.
Ÿ Tự tin và có lập trường khi thế giới quan về môi trường sống được nâng cao thêm một bước 
2. Chuẩn bị 
a) Giáo viên : Tài liệu tham khảo
b) Học sinh: Chuẩn bị bài trước ở nhà.
3.Phương pháp Vấn đáp gợi mở.
4.Tiến trình bài học
4.1 Ổn định tổ chức: Kiểm diện sĩ số
	4.2 Kiểm tra bài cũ: 
Câu hỏi : Nêu các bước chứng minh phương pháp quy nạp. Chứng minh rằng với mọi n Ỵ N*, ta có :
1 – 2 + 3 – 4 +  2n + (2n + 1) = n + 1
Đáp án :
	- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. 
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng đến n = k 1 (k là số tự nhiên bất kỳ) (giả thiết này gọi là giả thiết qui nạp), rồi chứng minh nó cũng đúng đến n = k+1.
- Chứng minh :
	 Bước 1 : Khi n = 1, VT = 2, VP = 2
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2 : Giả thiết đẳng thức đúng với n = k (k 0)
Tức là:1 – 2 + 3 – 4 + .......... – 2k + (2k + 1) = k + 1
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1 tức là: 
1 – 2 + 3 – 4 +....... – 2k + (2k+1) – 2(k+1) + [2(k+1)+1] = k+2 (*)
Theo giả thiết qui nạp, vế trái của (*) bằng :
k+1 – 2(k+1) + [2(k+1)+1] = k+2
Tức là (*) đúng, hay đẳng thức đúng với n = k+1.
Vậy đẳng thức đúng với mọi n
4.3 Giảng bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung bài học
Hoạt động 1 : Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cho nhưng mệnh đề liên quan đến số tự nhiên 
-Chứng minh rằng với mọi n Ỵ N*, ta có đẳng thức :
12 + 22 + 32 +  + n2 = 
Hướng dẫn sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh.
Tiến hành 2 bước.
- Nhân phân phối, kết hợp với việc biến đổi linh hoạt giữa các công thức.
- Đặt lại nhân tử chung 
Hoạt động 2 : Mở rộng cho trường hợp n > 1. 
n = p với p là một số tự nhiên nào đó.
-Cho hai số 3n và 8n với 
	a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
	b)Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Hướng dẫn 
 Khi n = 1, 2, 3, 4, 5.thì 3n = 3, 9, 27, 81 , 243 còn 8n = 8, 16, 24, 32, 40.
-Ta thấy rằng khi n = 1, 2 thì 3n 8n
b) Dự đoán Kq : Khi n > 2 thì 3n > 8n . Hay nói khác hơn là : 3n > 8n (2) 
Chứng minh 
Khi n = 3, VT = 33 = 27, VP= 24
Vậy (2) đúng với n = 3. 
Giả thiết (2) đúng đến n = k3, tức là: 
3k > 8k
Ta Chứng minh (2) đúng với n = k+1, tức là 
3k+1 > 8(k+1)
Thật vậy : ta có : 3k+1 = 3k.3 > 3.8k
	 và : 8(k+1) = 8k+8 < 2.8k
Suy ra : 3k.3 > 8k+8
Hay : 3k+1 > 8(k+1)
Ví dụ 3 : -Chứng minh rằng với mọi 
n Ỵ N*, ta có đẳng thức :
12 + 22 + 32 +  + n2 = 
Giải :
Bước 1: Khi n = 1
VT = 12 = 1
VP = 
Do đó đẳng thức đúng khi n = 1
Bước 2 :
Giả sử đẳng thức đúng đối với một số tự nhiên bất kì n = k (k 1), tức là :
12 + 22 + 32 +  + k2 = 
Ta phải chứng minh :
12 + 22 + 32 +  + k2 + (k + 1)2 =
 = 
Ta có :
[12 + 22 + 32 +  + k2 ]+ (k + 1)2 =
= 
= = 
Lưu ý :
Nếu phải chứng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên np (p¹0) thì :
 Bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với 
n = p,
 Bước 2 giả thiết mệnh đề đúng đến n=k p và chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1. 
Ví dụ 4 : Cho hai số 3n và 8n với 
	a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
	b)Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta có đẳng thức :
 an –bn = (a-b)(an-1+ an-2b+..........+abn-2+bn-1). (3)
Giải : Ta cũng chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Khi n = 2, VT = a2-b2, VP= (a-b)(a+b)= a2-b2. 
Vậy (3) đúng với n = 2. 
Giả thiết (3) đúng đến n = k2, tức là: 
ak - bk = (a-b)(ak-1+ak-2b+..............+abk-2+ bk-1). 
Ta Chứng minh (3) đúng với n = k+1, tức là 
ak+1-bk+1 = (a-b)(ak+ak-1b+...........+abk-1+bk). 
Thật vậy theo giả thiết qui nạp, ta có : 
ak+1-bk+1= ak+1-akb+ akb-bk+1 = ak(a-b)+b(ak-bk)
= ak(a-b)+b(a-b) (ak-1+ak-2b+..............+abk-2+ bk-1)
= (a-b)[ak+b(ak-1+ak-2b+..............+abk-2+ bk-1)]
= (a-b)(ak+ak-1b+...........+abk-1+bk).
Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên n2
4.4 Củng cố và luyện tập 
Câu hỏi : Chứng minh rằng với mọi n Ỵ N, biểu thức un = 13n – 1 chia hết cho 6
 Câu hỏi :Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n3, ta có : 2n > 2n + 1
	4.5 Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
- Xem lại các ví dụ để nắm vững kiến thức.
- Về nhà làm bài tập3,4sgk trang 82,83 
5. Rút kinh nghiệm