GA Đại số & Giải tích 11 tiết 37: Phương pháp quy nạp toán học

Tiết PPCT :37
Ngày dạy :
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1.Mục đích 
	a) Kiến thức :
Ÿ Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên 
n Ỵ N.
	b) Kĩ năng :
Ÿ Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Ỵ N.
Ÿ Vận dụng giải một số bài tập đơn giản trong sgk
	c) Tư duy và thái độ : 
Ÿ Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác.
Ÿ Tự tin và có lập trường khi thế giới quan về môi trường sống được nâng cao thêm một bước 
2. Chuẩn bị 
a) Giáo viên : Tài liệu tham khảo
b) Học sinh: Chuẩn bị bài trước ở nhà.
3.Phương pháp Vấn đáp gợi mở.
4.Tiến trình bài học
4.1 Ổn định tổ chức: Kiểm diện sĩ số
	4.2 Kiểm tra bài cũ: Nhắc lại khái niệm mệnh đề, Mệnh đề chứa biến.
4.3 Giảng bài mới:
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung bài học
Hoạt động 1 : Dẫn dắt vào bài. Cho thấy nhu cầu phải nắm bắt khái niệm quy nạp toán học. Phương pháp vấn đáp gợi mở.
Bài tập :
Xét hai mệnh đề chứa biến P(n) : “” và Q(n) : “ ” với 
a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Hướng dẫn :
 a) Kiểm tra tính đúng sai của P(n) với n =1, 2, 3, 4, 5 ta thấy : P(1), P(2), P(3), P(4) đúng, P(5) sai. còn Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) đều đúng.
 b) Gợi Hs một tình huống có vấn đề, Cho thảo luận nhóm.
Gv : Đưa ra kết luận chung :
-Phép thử với một vài trường hợp (n = 1, 2, 3, 4, 5) không phải là chứng minh cho kết luận trong trường hợp tổng quát.
-Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp . Việc xét Q(n) nếu ta tiếp tục kiểm tra với thì mặc dù Q(n) đúng, song ta vẫn chưa thể kết luận Q(n) đúng .
-Muốn chứng tỏ một kết luận là sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp là đủ.Ví dụ trong trường hợp trên thì P(n) là sai vì khi n = 5 thì P(5) sai.
Hoạt động 2 : Hướng dẫn giải các ví dụ để hiểu rỏ hơn phương pháp qui nạp.
-Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 ta có đẳng thức :
1+2+3+............+n = (1).
Chứng minh công thức tính tổng trên ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được.
Ta tiến hành như sau: 
+ Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. 
+ Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì k. Sau đó ta chứng minh nó đúng với 
k = k+1
- Chứng minh rằng thì :
 (2)
Tiến hành chứng minh theo phương pháp qui nạp 
- Lưu ý : phải tận dụng được giả thuyết quy nạp để chứng minh.
1. Phương pháp qui nạp toán học : 
	Để chứng minh nhưng mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì ta sẽ chứng minh nó bằng phương pháp quy nạp, tiến hành như sau :
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. 
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng đến n = k 1 (k là số tự nhiên bất kỳ) (giả thiết này gọi là giả thiết qui nạp), rồi chứng minh nó cũng đúng đến n = k+1.
2. Các ví dụ : 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 ta có đẳng thức: 
1 + 2 + 3 +............+ n =(1).
Giải : Ta chứùng minh bằng phương pháp qui nạp: 
 1) Khi n=1, VT=1, VP=1. Vậy (1) đúng với n=1.
 2) Giả thiết (1) đúng đến n = k bất kỳ và n=k1
Tức là 1+2+3+...........+k =
Ta chứng minh (1) đúng đến n = k+1 tức là
 1 + 2 + 3+.....+k + (k+1) = 
Thật vậy, theo giả thiết qui nạp, ta có: 
[1+2+3+..........+k]+(k+1)=
= []+k+1 = (k+1)(+1) = 
 Vậy (1) đúng với mọi n1.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng thì :
 (2)
Giải : Ta chứùng minh bằng phương pháp qui nạp: 
 1) Khi n = 1, VT=1, VP=1. Vậy (2) đúng với
 n = 1.
 2) Đặt VT = Sn
Giả thiết (1) đúng đến n = k bất kỳ và
 n = k1
Tức là Sk = (giả thuyết quy nạp)
Ta phải chứng minh (2) phải đúng với n = k+1 , tức là :
Sk+1 =
Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có: 
Sk+1 = Sk + = k2 +2k + 1 = 
Vậy (2) đúng 
4.4 Củng cố và luyện tập 
Cho học sinh nhắc lại các bước chứng minh qui nạp và chủ yếu là chú ý bước nào? 
( bước 2 ). 
Để thực hiện bước này cần lưu ý: 
+ Phải sử dụng giả thiết mệnh đề đúng đến n= k. 
+ Ngoài sử dụng mệnh đề đúng đến n=k có thể sử dụng tất cả các định lý, các tính chất có liên quan để chứng minh.
	4.5 Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
- Xem lại các ví dụ để nắm vững kiến thức.
- Về nhà làm bài tập1,2 sgk trang 82,83 
5. Rút kinh nghiệm