Định lý Vi-ét và ứng dụng

 ĐẶT VẤN ĐỀ.
 Việc không sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 hiển nhiên đã đem lại không ít khó khăn cho học sinh trong việc giải toán cũng như cho giáo viên trong quá trình giảng dạy. Tuy nhiên, trong hoàn cảnh đó chúng ta lại có những cách thức khác để tiếp cận cũng như tìm ra nhiều phương pháp để giải quyết bài toán. 
 Với những công cụ đơn giản như định lý Vi-et, một số phương pháp thuần tuý thường dùng như đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số chúng tôi xin đưa ra một số ví dụ về các bài toán được giải không bằng định lý đảo về dấu tam thức bậc 2.
 Rất mong được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn.
I.SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai:
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) khi và chỉ khi 
2.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm các giá trị của m để phương trình x2 – 2(m-1)x + m2 + 4m – 5 = 0
Có hai nghiệm trái dấu.
Có hai nghiệm đều lớn hơn -1
Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1
Có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 1 < x2.
Lời giải:
Ta có: ∆’ = 6 – 6m. 
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi ∆’ (*)
 Với điều kiện (*), phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
 x1 + x2 = 2(m-1), x1x2 = m2 + 4m – 5
a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi m2 + 4m – 5 < 0 hay – 5 < m < 1
 b)Ta có 
Vậy 
c) Ta có x1 > -1, x2 > -1
Vậy 
d)Ta có: x1 <1, x2 <1
Vậy 
Bài 2: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị đó.
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm x + m = 
Với x ≠ -3, PT trên tương đương với: x2 + (m+2)x + 3m + 1 = 0(1)
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi PT(1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<-3<x2
Đến đây ta lại trở về bài toán như Bài 1 .
Bài 3: Tìm các giá trị của m sao cho PT x2 +(2m+1)x + m2 -10 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn -6 < x1 < 1 < x2 
Lời giải:
PT có hai nghiệm x1, x2 khi ∆ = (2m+1)2 – 4(m2 – 10) ≥ 0 hay m ≥ -39/4 (1)
Khi đó x1 + x2 = -2m -1 và x1x2 = m2 – 10 
Ta có – 6 < x1 , – 6 < x2 khi 0 < x1 + 6, 0 < x2 + 6. Do đó ta có hệ:
Lại có x1 < 1 < x2 khi x1 – 1 < 0 < x2 – 1 . Do đó ta có 
(x1 – 1) .( x2 – 1) < 0 m2 + 2m – 8 < 0 - 4 < m < 2 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được – 4 < m < 2 là các giá trị cần tìm.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài 1: Tìm m để PT (m + 1)x2 – (2m + 3)x + 1- m = 0 có tất cả các nghiệm đều lớn hơn 1.
Bài 2: Tìm m để PT x2 – ( m+2)x – m2 – 2 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn x1 < 4 < x2 < 7.
Bài 3: Tìm m để PT (m+1)x2 – (8m+1)x + 6m = 0 có đúng một nghiệm thuộc (0; 1).
Bài 4: Tìm các giá trị của m để PT m.4x + (2m+3)2x – 3m - 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
II.ĐẶT ẨN PHỤ
1.Kiến thức liên quan:
 Với ∆ = b2 – 4ac. Phương trình bậc hai (1) có :
Hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
Hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi ∆ 0, S 0
Hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi ∆ 0, S > 0 và P > 0
Với cách nhìn nhận x )a thì x – a )0, ta đưa bài toán về việc so sánh nghiệm t của phương trình ẩn t = x - a với số 0
2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm m để PT (m+2)x2 – 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Có hai nghiệm trái dấu
Có hai nghiệm đều lớn hơn 1
Có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2.
Lời giải:	
PT có hai nghiệm khi m + 2 ≠ 0 và ∆’ = (m+1)2 – (m+2)(m+1)(m+3) ≥ 0
 hay m ≠ -2, m ≤ -1(*)
a)PT có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 
(m+2)(m2 + 4m + 3) < 0 
b) Đặt x = t + 1 Khi đó PT trở thành : (m+2)(t+1)2 – 2(m+1)(t+1) + m2 + 4m + 3 = 0
hay (m+2)t2 + 2t + m2 + 3m + 3 = 0 (2)
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi PT(2) có hai nghiệm cùng dương
 (với ĐK (*) ) hệ này vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán.
c) Đặt x = t + 2 . Khi đó x 2 khi t > 0
Ta được PT : (m+2)t2 + (2m + 6)t + m2 + 4m + 7 = 0(3)
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi PT(2) có hai nghiệm trái dấu
Tức là (m+2)( m2 + 4m + 7) < 0 hay m < -2
Vậy m < -2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các giá trị của m để PT mx2 – 2( m+ 2)x + m + 1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu,	b) Có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2
c) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn -1< x1 < 3 < x2.
Bài 2: Tìm các giá trị của m đề đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số (C) tại hai điểm phân biệt
 Thuộc cùng một nhánh của đồ thị ( C )
 Nằm về hai phía của đường thẳng y = x.
III.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các giá trị của m để PT 4x – m.2x+1 + 1+2m = 0 có hai nghiệm 0 < x1 < 1 < x2.
Lời giải:
Đặt t = 2x ( t>0) ta được t2 – 2mt + 2m = 0 m = ,(1)( vì t = 1 không là nghiệm của PT)
Ta thấy với mỗi t > 0 ,PT 2x = t có duy nhất nghiệm.
Vì vậy yêu cầu bài toán thoả mãn khi (2) có hai nghiệm 1 < t1 < 2 < t2.
Xét f(t) = VP(1), t ≥ 0, f(t) liên tục trên [0; +∞)\
f’(t) = , f’(t) = 0 t = 0, t= 2
Ta có bảng biến thiên của hàm f(t)
x
 1 2 4 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 +∞ 16/3
 2
Vậy bài toán được thỏa mãn khi m > 2
Bài 2: Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng y = -3 cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 2m tại 4 điểm phân biệt thỏa mãn: có đúng 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1,5; các điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 0,5.
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm : x4 + 2mx2 + 2m + 3 = 0 - 2m = (1)
Xét hàm số f(x) = VP(1), f(x) liên tục trên R
f’(x) = 
f’(x) = 0 x = 0, x = 1
Bảng biến thiên của f(x)
X
-∞ -1 0 1/2 1 3/2 +∞
f’(x)
 - 0 + 0 - 0 + 
f(x)
+∞ +∞
 3
 	49/20	 129/52
 2 2 
Vậy 129/52 < -2m < 3 hay -3/2 < m < -129/104
IV. ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG KHẢO SÁT HÀM SỐ.
Bài 1: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 +6x2+3(m+4)x đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn:
x1 < 1, x2 < 1
x1 < 1 < x2
-3 < x1 <-1 < x2
Thực tế, đối với hàm số bậc 3 muốn có cực trị thì phương trình y’=0 phải có 2 nghiệm phân biệt. Vậy nên, yêu cầu của bài toán được chuyển thành : “ Tìm m để phương trình bậc 2: y’=0 có các nghiệm thoả mãn :.” Đến đây xin mời bạn đọc tự làm tiếp.
Bài 2: Tìm m để hàm số 
y=x3+3mx2-(m+4)x+2, đồng biến trên (2; )
y=-x3-3mx2+(2m-1)x+1, nghịch biến trên (.
Ở bài toán này, chúng ta có thể giải quyết dựa trên dấu của biệt thức của y’. Trong trường hợp >0, y’ có 2 nghiệm phân biệt, khi đó 
a) y’=0 có hai nghiệm đều nhỏ hơn hoặc bằng 2.
b) y’=0 có 2 nghiệm đều lớn hơn hoặc bằng 1.
Mời các bạn tự làm tiếp nhé.