Đi tìm công thức tổng quát dãy số

 thì 1 11( 1) .n nnu b n x    
ii. Nếu a  thì 1 1 .n nn b bu a x
a a
  
       
Thế là bắt đầu hình thành phương pháp rồi đấy nhỉ! Chúng ta tiếp tục bằng một bài toán rất nổi
tiếng sau đấy:
Một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi cứ mỗi tháng
đẻ ra một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái). Giả sử từ lúc đầu tháng giêng có một
đôi thỏ sơ sinh., hỏi đến đầu tháng n có bao nhiêu đôi thỏ.
Bài toán Fibonacci, trích cuốn Liber Abaci (sách về toán đố).
Ý tưởng:
Đây là một bài toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta sẽ tìm cách viết lại đề bài.
Gọi
nF là số đôi thỏ sau n tháng. Thì 1 21, 1.F F  Ta dễ thấy đến tháng ba, đôi thỏ ở tháng
giêng đẻ còn đôi thỏ sinh ra ở tháng hai mới 1 tháng tuổi nên chưa đẻ nên có 3 2 1 3F    đôi
thỏ, đến tháng thứ tư thì đôi thỏ ở tháng giêng và tháng hai đẻ nên có 4 3 2 5F    đôi thỏ. Cứ
tiếp tục suy diễn như vậy ta suy ra: 1 2.n n nF F F  
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
8
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Đề bài được viết lại như sau:
Ví dụ 4: (dãy Fibonacci)
Dãy ( )nF được xác định 1 21, 1F F  và 1 2n n nF F F   3.n  Tìm CTTQ của ( ).nF
Ý tưởng:
Không như những bài toán đã gặp ở trên, bài toán này chúng ta gặp một công thức truy hồi
liên quan tới 3 số hạng của dãy. Ý tưởng của chúng ta bây giờ sẽ là tìm cách biến đổi công thức
truy hồi đó về dạng đơn giản hơn chỉ liên quan tới 2 số hạng của dãy.
Giải:
Giải sử: 1 221 1 2 1 1 2 2 2 1 1
1 2
1( ) ( )
1
n
n n n nF F F F F F
       

  
         
Suy ra 1 2,  là nghiệm của phương trình: 2 1 0    , giải PT ta được hai nghiệm
1,2
1 5
.
2
  Chọn 1 21 5 1 5, .2 2 
  
2 2
1 2 1
1 5 1 5 1 5 1 5 1 5
. .
2 2 2 2 2
n n
n nF F F F
 

                                 
1
1
1 5 1 5
.
2 2
n
n nF F


            
Áp dụng kết quả công thức tổng quát 2 ta suy ra:
1 1 5 1 5
.
2 25
n n
nF
               
Chú ý:
 Bài toán trên được Leonardo Pisano (khoảng 1170-1250) hay còn gọi là Fibonacci phát
biểu lần đầu tiên ttrong một cuốn sách của mình tên là Liber Abaci dưới dạng một bài
toán đố. Dãy Fibonacci là một dãy số có rất nhiên ứng dụng trong toán học, kinh tế, sinh
học, hội họa, Có rất nhiều tính chất tuyệt đẹp của dãy Fibonacci nhưng trong khuôn
khổ của tập tài liệu không thể nói đến được, hi vọng có thể cùng các bạn trao đổi về dãy
Fibonacci trong một chuyên đề khác!
 Công thức chúng ta vừa tìm được còn có tên là công thức Binet do nhà toán học Pháp
Binet (1786 – 1856) tìm ra đầu tiên.
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
9
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Từ cách làm ở ví dụ 4, ta rút ra được bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát 2:
Cho dãy ( )nu được xác định bởi 1 1 2 2
1 2
,
0n n n
u x u x
u au bu 
    
3.n 
Trong đó 1 2, , ,a b x x là các hằng số và 2 4 0a b  . Tìm CTTQ của dãy ( ).nu
Giải: (tổng quát)
Giải phương trình đặc trưng: 2 0.a b    từ đó tìm được 1 2,  , khi đó:
1
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1( ) ... ( )nn n n nu u u u u u           
1
1 1 2 1 1 2( ) nn nu u x x      
Áp dụng Công thức tổng quát 2:
Nếu 1 2 2
a   thì:
2 1
2 1 1( 1)2 2 2
n n
n
a a a
u x x n x
                   
 2 22 1 1( 1) ( 1)2 2 2 2
n n
a a a a
x x n x k n l
                        
Trong đó ,k l là nghiệm của hệ phương trình:
1
2
2
x al
k l x
    (sửa)
Ví dụ 5:
Cho dãy ( )nu được xác định: 1 2 2
1 2
1, 3
5 6 2 2 1 2n n n
u u
u u u n n n 
         
Tìm CTTQ của ( )nu .
Giải:
Giải sử: 2n nu v an bn c    , cần chọn , ,a b c sao cho:
2 2 2 2
1 1
2 2 1 ( ) 5( ( 1) ( 1) ) 6( ( 2) ( 2) ) (5.1)
5 6 0 (5.2)n n n
n n an bn c a n b n c a n b n c
v v v 
                  
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
10
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Thay lần lượt 0,1,2n  vào (5.1) ta có hệ:
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 11 19
a b c a
a b c b
a b c c
                
Đến đây ta giải tiếp (5.2) từ đó có thế suy ra ( ),nu công việc này xin được dành bạn đọc.
Ví dụ 6:
Tìm CTTQ của ( )nu biết: *1 1, .2
n
n
n
u
u u n
u
    
Giải:
Ta có:
1 2 21 .
2
n n
n
n n n n
u u
u
u u u u
    
Đặt: 1
1
11
1 2n n nn
v
v
v vu 
    
12 1 .
2 1
n
n n n
v u     
Nhận xét:
Đây là dạng bài toán tìm CTTQ của dãy số cho bởi một công thức truy hồi dạng phân tuyến
tính với các hệ số hằng. Chúng ta có thể dễ dàng tổng quát bài toán trên dưới dạng sau đây:
Bài toán tổng quát 3:
Cho dãy ( )nu được xác định bởi: *11
1
, .
n
n
n
pu q
u u n
ru s
 

    
Trong đó , , , ,p q r s là các hằng số. Tìm CTTQ của dãy ( ).nu
Giải: (tổng quát)
Đặt:
 
 
  21 1
1 1
( )n n
n n n n
n n
p v t q p rt v rt p s t q
u v t v t v
r v t s rv rt s
 
 
                .
Ta chọn: 2 ( ) 0rt p s t q    khi đó:
1
1 1
n nv v
 

  . Từ đó tìm được CTTQ của ( )nv rồi
suy ra ( ).nu
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
11
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Chúng ta tiếp tục xét một ví dụ sau là dạng bài xác định CTTQ của dãy số khi biết công thức
truy hồi có căn thức
Ví dụ 7:
Cho dãy ( )nu được xác định: 21 12, 2 3 2n n nu u u u    . Tìm CTTQ của ( )nu .
Ý tưởng:
Ta thấy trong công thức truy hồi có căn thức nên việc đầu tiên của chúng ta làm sẽ là khai
triển căn thức, từ đó sẽ tìm cách đưa dãy về dạng đơn giản hơn.
Giải:
Viết lại công thức truy hồi:  2 2 2 21 1 12 3 2 4 2 0n n n n n n nu u u u u u u          . Thay n
bằng 1n  ta đươc: 2 2 2 21 1 1 14 2 4 2 0n n n n n n n nu u u u u u u u           .
Từ đó suy ra: 1nu  và 1nu  là nghiệm của phương trình:
2 24 2 0n nx xu u   
1 1 4n n nu u u    .
Từ đây ta đã đưa được về dạng quen thuộc, các bạn hãy giúp tôi hoàn thành nốt bài toán này!
Ví dụ 8:
Cho 2 dãy số
1 1
1
1
1, 1
( ), ( ) : 4 2n n n n n
n n n
u v
u v u u v
v u v


     
Tìm CTTQ của ( )nu và ( ).nv
Giải:
Thay n bằng 1n  ta được:
1 1
1 1 1 1 1
1 1
4 2
4 2 4 2( ) 4 2 2n n n n n n n n n n n n
n n n
u u v
u u v u u v u u v
v u v
 
    
 
            
1 1 14 2 4 5 6n n n n n nu u u u u u        .
Từ đó ta có hệ 1 2 1
1 1
1, 2
2
5 6
n
n
n n n
u u
u
u u u

 
     
. Thay vào hệ đã cho, suy ra:
1 1
1 2 2 .
n n
n n nv v v
 
    
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
12
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Nhận xét:
Đây là dạng bài toán xác định CTTQ dãy số cho bởi một hệ phương trình. Ta có thể tổng quát
bài toán trên dưới dạng:
Bài toán tổng quát 4:
Cho dãy ( ), ( )n nu v được xác định bởi:
1 1
1
1
,
n n n
n n n
u v
u pu qv
v ru sv
 


     
Trong đó , , , , ,p q r s  là các hằng số. Tìm CTTQ của dãy ( ), ( ).n nu v
Giải: (tổng quát)
Thay n bằng 1n  ta được hệ 1 1
1 1
n n n
n n n
u pu qv
v ru sv
 
 
   
1 1 1( )n n n n n nu pu qv pu q ru sv       
1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n npu qru s u pu p s u qr ps u         
1 1( ) ( ) 0n n nu p s u ps qr u      
Từ đây ta đưa được về dạng như Bài toán tổng quát 2.
Ngoài việc tìm CTTQ của những bài toán cho trước, chúng ta cũng có thể tự tổng quát một
số dạng dãy số khác. Chúng ta sẽ cùng nhau xét một ví dụ: xây dựng phương trình phi tuyến bậc
cao từ nghiệm của một phương trình bậc 2.
Xét phương trình bậc 2: 2 1 0x mx   có nghiệm là 1x và 2x . Xét mộ số thực bất kì
và dãy số  2 21 2 .n nnu x x  Khi đó  1 12 2 2 2 21 2 12 2n nn nu x x u        
2
1 2 .nn
u
u    Từ đây ta có bài toán:
Ví dụ 9:
Cho dãy ( )nu xác định bởi: 21 12, 2 1.n nu u u   Tìm CTTQ của ( ).nu
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
13
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Giải: Ta thấy:
2
2
1 1
12 1 2.1 2
2
n
n n n
u
u u u      Trong trường hợp này 12  . Lại có:
   0 02 2 20 1 2 1 21 2 4 4 1 02u x x x x m x x          
   2 21,2 12 3 2 3 2 32
n n
nx u
           .
Chú ý:
 Trong phần nay chúng ta vừa cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số
dạng dãy số cơ bản. Tuy nhiên còn nhiều dạng dãy số khác, do khuôn khổ tài liệu có hạn
không thể đề cập hết ở đây. Rất mong các bạn thông cảm và hãy tự mình tìm hiểu, khám
phá những loại dãy số mới!
 Trong các phần tiếp theo, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán mà trong quá trình giải có sử
dụng kết quả của phần này. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu một khái
niệm rất thú vị sau!
Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn
14
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger
Phương trình sai phân tuyến tính
Phương trình sai phân tuyến tính là một công cụ rất mạnh trong việc tìm CTTQ của dãy số.
Trong phần này, tôi sẽ giới thiệu vơi các bạn khái quát về phương trình sai phân tuyến tính cấp
một và cấp hai.
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một (bậc nhất)
Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng:
*
1 1, ( ) .n nu au bu f n n     
Trong đó , 0,a b  là những hằng số và ( )f n là biểu thức của n cho trước.
Phương