Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm học 2014-2015 TP Hà Nội

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 	HÀ NỘI	Năm học: 2014 – 2015
	ĐỀ CHÍNH THỨC	MÔN: TOÁN
	Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài I (2,0 điểm)
	1) Tính giá trị của biểu thức khi x = 9
	2) Cho biểu thức với x > 0 và 
	a)Chứng minh rằng 
	b)Tìm các giá trị của x để 
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
	Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm)
	1) Giải hệ phương trình: 
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2.
	a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).
	b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài IV (3,5 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.
	1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
	3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
	4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài V (0,5 điểm)
	Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
BÀI GIẢI
Bài I: (2,0 điểm) 
1) Với x = 9 ta có 
2) a) 
b)Từ câu 2a ta có
 và x > 0
 và x >0 và x >0 
Bài II: (2,0 điểm)
Gọi x là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch (x > 0)
 Số ngày theo kế hoạch là : . 
Số ngày thực tế là . Theo giả thiết của bài toán ta có :
 - = 2. 
(loại) 
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm.
Bài III: (2,0 điểm)
1) Hệ phương trình tương đương với:	 
Đặt và . Hệ phương trình thành :
Do đó, hệ đã cho tương đương : 
2)	
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 
Ta có y (2)= 4; y(-3) = 9. Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là B(2;4) và A(-3;9)
b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.
Ta có 
Ta có A’B’ = , AA’ =, BB’ = 
Diện tích hình thang : 	(đvdt)
(đvdt); (đvdt)
(đvdt)
A 
B 
P 
Q 
O 
F 
E 
N 
M 
Bài IV (3,5 điểm)
1) Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn.
2) Ta có (cùng chắn cung AM)
và (góc có cạnh thẳng góc)
vậy nên MNPQ nối tiếp.
3) OE là đường trung bình của tam giác ABQ.
 OF // AP nên OF là đường trung bình của tam giác ABP
Suy ra F là trung điểm của BP.
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF. 
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP.
Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên .
Tương tự ta có nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN.
4) 
Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra 
Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 
Ta có = 2R2
Do đó,. Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB.
Bài V: (0,5 điểm)
Ta có 
(Do a + b +c = 2)
 (Áp dụng bất đẳng thức với 2 số dương u=a+b và v=a+c)
Vậy ta có (1)
Tương tự ta có : 
 (2)
 (3)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế 
Khi a = b = c = thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4.
Trần Quang Hiển,Ngô Thanh Sơn, Nguyễn Phú Vinh
(THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM)