Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Quảng Nam năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM
Năm học: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Khóa thi: Ngày 4 tháng 7 năm 2012
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
	a) Rút gọn biểu thức: A = (với a ≥ 0 và a ≠ 4). 
	b) Cho . Tính giá trị của biểu thức: .
Câu 2: (2,0 điểm)
	a) Giải phương trình: .
	b) Giải hệ phương trình: 	
Câu 3: (1,5 điểm)
	Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số).
	a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
	b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2.
Câu 4: (4,0 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F.
	a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn.
	b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF. Tính độ dài đoạn thẳng ID.
	c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN. Xác định vị trí điểm M để . 
Câu 5: (1,0 điểm)
	Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2. 
	Chứng minh: .
--------------- Hết ---------------
Họ và tên thí sinh: ......................................................... Số báo danh: ...................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM
Năm học: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Khóa thi: Ngày 4 tháng 7 năm 2012
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn này gồm 03 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(1,5 điểm)
a) (0,75) A = (a ≥ 0 và a ≠4) 
A = 
 = 
 = −1
0,25
0,25
0,25
b) (0,75) Cho . Tính: 
=
Þ 
Þ 
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
a) (1,0) Giải phương trình: (1)
 Bình phương 2 vế của (1) ta được:
 Þ 
 Þ 
 Þ Þ x = 1 hoặc x =−2
 Thử lại, x = −2 là nghiệm .
0,25
0,25
0,25
 0,25
b) (1,0) Giải hệ phương trình: (I) 
Nếu (x;y) là nghiệm của (2) thì y ≠ 0. 
Do đó: (2) Û (3)
Thay (3) vào (1) và biến đổi, ta được: 
	 4y3 + 7y2 + 4y + 1 = 0
	Û (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = 0 (thí sinh có thể bỏ qua bước này)
	Û y = – 1 
	y = – 1 Þ x = 2
Vậy hệ có một nghiệm: (x ; y) = (2 ; −1).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 3
(1,5 điểm)
a) (0,75) (P): y = − x2 , (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m.
Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
 − x2 = (3 − m)x + 2 − 2m.
 Û x2 + (3 − m)x + 2 − 2m = 0 (1)
 D = (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m + 1
Viết được: D = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − 1 và kết luận đúng.
0,25
0,25
0,25
b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| = 2 .
 Giải PT (1) được hai nghiệm: x1 = − 2 và x2 = m − 1
 Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2
	 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3|
 |yA − yB| = 2 Û m2 − 2m − 3 = 2 hoặc m2 −2m − 3 = −2
 	 Û m = hoặc m = 
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(4,0 điểm)
a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn.
Ta có:
( cùng phụ với )
 Þ 
 Þ tứ giác EBDF nội tiếp 
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1,5) Tính ID 
Tam giác AEC vuông tại C và BC ^ AE nên: BE.BA = BC2 
 	Þ 
	BE//CD Þ 
	Þ 
	Þ và tính được: BD = 
 Þ (cm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 4
(tt)
c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 
 Đặt AM = x, 0 < x < 4
 Þ MB = 4− x , ME = 5 − x
Ta có: 
 , 
 S1 = S2 Û 5− x = . Û x2 + 18x − 40 = 0 
Û x = 2 (vì 0 < x < 4) 
Vậy M là trung điểm AB .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: = (1) (bđt Côsi)
 (bđt Cô si)
 Þ (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2 Û a = và b = 
0,25
0,25
0,25
0,25