Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2008– 2009

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN ...........................................trang 1............................................................Bùi Văn Chi 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH 
NĂM HỌC 2008– 2009 
Ngày thi: 18/06/2008 - Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1. (1,5 điểm) 
Chứng minh bất đẳng thức: 
1
a 1 a
2 a
+ − 0. 
Câu 2. (3 điểm) 
Giải các phương trình sau: 
a) 
2
2
2x x 11x 6
x 3 x 9
+ −
=
−
−
b) 2x 2x 1 3 2 2− + − + = 1 
Câu 3. (1,5 điểm) 
Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
y = 3x + 1
2x
Câu 4. (2,5 điểm) 
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia 
Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường 
thẳng qua O và vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh 
rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax. 
Câu 5. (1,5 điểm) 
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x + 1 chia hết cho y 
đồng thời 3y + 1 chia hết cho x. 
 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN ...........................................trang 2............................................................Bùi Văn Chi 
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN 
TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH 
 NĂM HỌC 2008 – 2009 – Ngày: 18/06/2008 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1(1,5 điểm) 
Chứng minh bất đẳng thức: 
1
a 1 a
2 a
+ − 0 (1) 
Biến đổi: 
(1) ⇔ 2 a(a 1)+ - 2a 0) ⇔ 2 a(a 1)+ 0) 
⇔ 4a(a + 1) 0) 
⇔ 4a2 + 4a 0) ⇔ 0 < 1: bất đẳng thức đúng 
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. 
Câu 2 (3 điểm) 
Giải các phương trình: 
a) 
2
2
2x x 11x 6
x 3 x 9
+ −
=
−
−
(1) 
TXĐ: x ≠ ± 3 
Biến đổi: 
(1) ⇔ 2x(x + 3) = x2 + 11x – 6 (x ≠ ± 3) 
⇔ 2x2 + 6x – x2 – 11x + 6 = 0 (x ≠ ± 3) 
⇔ x2 – 5x + 6 = 0 (x ≠ ± 3) 
⇔ x = 2. 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2. 
b) 2x 2x 1 3 2 2− + − + = 1 (2) 
Biến đổi: 
(2) ⇔ ( )x 1 2 1 1− − + = 
⇔ x 1 2 2 x 3 2 ; x 1 2− = + ⇔ = + = − − 
Vậy tập nghiệm của phương trình (2): 
S = { }3 2 ; 1 2+ − − 
Câu 3 (1,5 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 3x + 1
2x
 với x ≥ 1 (1) 
Biến đổi: 
(1) ⇔ y = x 1 5x
2 2x 2
+ + 
Aùp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: 
 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN ...........................................trang 3............................................................Bùi Văn Chi 
x 1 x 12. .
2 2x 2 2x
+ ≥ = 1 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1
2 2x
= ⇔ x = 1 (x ≥ 1) 
Và 5x 5
2 2
≥ (x ≥ 1) 
Do đó y ≥ 1 + 5 7
2 2
= . Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 7
2
 khi x = 1. 
Câu 4 (2,5 điểm) 
Chứng minh F thuộc tia cố định Iy 
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt Ax tại P, cắt AB tại Q. 
Ta có tứ giác OEPD nội tiếp nên: 
 
1 1D P= (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) 
Tứ giác OECQ nội tiếp nên 
 
1 1C Q= (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) 
Mặt khác, tam giác OCD cân tại O nên 
 
1 1D C= . 
Suy ra 
 
1 1P Q= , do đó ∆OPQ cân tại O, nên đường cao OE cũng là đường trung tuyến, ta có 
PE = EQ. 
Vì PQ // BM (cùng vuông góc với OE), nên theo định lý Ta lét, ta có: 
PE AE EQ
MF AF BF
= = 
Suy ra MF = BF. 
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IF là đường trung bình của ∆ABM. 
Vì tia Ax và điểm I cố định nên tia Iy // Ax cũng cố định. 
A
C Q
P
D
O
I
F
B
M
 x
 y
1
1
1 1
E
 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN ...........................................trang 4............................................................Bùi Văn Chi 
Vậy khi M di động trên tia Ax thì F di động trên tia cố định Iy // Ax, với I là trung điểm của 
AB. 
Câu 5 (1,5 điểm) 
Tìm x, y nguyên với x > 1, y > 1 sao cho: 
3x + 1 chia hết y và 3y + 1 chia hết cho x 
Ta có 3x + 1 ⋮ y , 3y + 1 ⋮ x, nên: 
3x + 1 = ky; 3y + 1 = mx, với k, m ∈ N, m ≥ 1, k ≥ 1, k 3, m 3. 
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta có: 3x + 1 + 3y + 1 = ky + mx 
⇔ ky – 3y + mx – 3x = 2 
⇔ y(k – 3) + x(m – 3) = 2 (1) 
Vì x > 1, y > 1 và k 3, m 3, nên từ (1) suy ra k và m không thể đồng thời lớn hơn 3, 
hoặc đồng thời nhỏ hơn 3. 
Không mất tính tổng quát, giả sử m > 3, khi đó 1 ≤ k < 3, suy ra k =1 hoặc 2. 
+) Xét trường hợp k = 1 
Khi đó ta có 3x + 1 = y. 
Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có: 
3(3x + 1) + 1 ⋮ x 
⇔ 9x + 4 ⋮ x ⇔ 4 ⋮ x ⇔ x = 2 hoặc 4 (do x ∈ Z, x > 1) 
*) Với x = 2 ta có y = 3x + 1 = 7 
*) Với x = 4 ta có y = 3x + 1 = 13. 
+) Xét trường hợp k = 2 
Khi đó ta có 3x + 1 = 2y 
Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có: 
2(3y + 1) ⋮ x ⇔ 6y + 2 ⋮ x ⇔ 3(3x + 1) + 2 ⋮ x ⇔ 9x + 5 ⋮ x ⇔ 5 ⋮ x ⇔ x = 5 (x ∈ Z, 
x > 1) 
*) Với x = 5 ta có 2y = 3x + 1 = 3.5 + 1 = 16 ⇔ y = 8. 
Do m, k có vai trò như nhau nên x, y có thể hoán vị các giá trị cho nhau. 
Vì vậy ta tìm được 6 cặp giá trị x, y liệt kê trong bảng sau thỏa mãn điều kiện bài toán. 
x 2 7 4 13 5 8 
y 7 2 13 4 8 5