Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin Năm 2004 Đại học sư phạm HN

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin 
Năm 2004
Đại học sư phạm HN
Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức : .
Tìm tất cả bộ ba số dương thỏa mãn hệ phương trình :
Giải phương trình : 
	.
Mỗi bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn phương trình x2+y2+z2=3xyz được
gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình này.
a) Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dương khác của phương trình đã cho.
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.
Cho D ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua
A cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Giả sử d cắt lại đường tròn (O) tại E (khác A), MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng :
a) D ACN đồng dạng với D MBA. D MBC đồng dạng với D BCN.
b) tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp
c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.