Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối D năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 
Môn: TOÁN; Khối: D 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát 
Khi 0,m = 4 22 .y x x= −
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: hoặc 3' 4 4 ;y x x= − ' 0y = ⇔ 1x = ± 0.x =
0,25 
Hàm số nghịch biến trên: ( ; và đồng biến trên: và (1 1)−∞ − (0;1); ( 1;0)− ; ).+ ∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y1, 1;CTx y= ± = − 0,x = CĐ 0.=
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞
0,25 
- Bảng biến thiên: 
 Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
2. (1,0 điểm) Tìm ...m
Phương trình hoành độ giao điểm của ( và đường thẳng )mC 1:y = −
4 2(3 2) 3 1.x m x m− + + = −
Đặt phương trình trở thành: 2 , 0;t x t= ≥ 2 (3 2) 3 1 0t m t m− + + + =
0,25 
⇔ hoặc t m 1t = 3 1.= + 0,25 
Yêu cầu của bài toán tương đương: 
0 3 1 4
3 1 1
m
m
< + <⎧⎨
+ ≠⎩ 0,25 
I 
(2,0 điểm) 
⇔ 1 1,
3
m− < < 0.m ≠ 0,25 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0x x x x− + − = 
⇔ 3 1cos5 sin 5 sin
2 2
x x x− = 
x −∞ 1− 0 1 
y' − 0 + 0 − 0 + 
y 
+∞
1− 1− 
0 
 +∞ 
+∞ 
x 
O
y 
2− 21−
1− 1
8
0,25 
II 
(2,0 điểm) 
⇔ sin 5 sin
3
x xπ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
 Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm
⇔ 5 2
3
x x kπ π− = + hoặc 5 2
3
x x kπ π π− = − + . 0,25 
Vậy: 
18 3
x kπ π= + hoặc 
6 2
x kπ π= − + ( ). k ∈] 0,25 
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Hệ đã cho tương đương: 
2
2
31 0
5( ) 1
x y
x
x y
x
⎧
+ + − =⎪
0⎪ + − + =⎪⎩
⎪⎨ 0,25 
⇔ 2
2
3 1
3 51 1 0
⇔
x y
x
x x
⎧
+ = −⎪⎪⎨⎛ ⎞⎪
− − + =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
2
3 1
4 6 2 0
x y
x
xx
⎧
+ = −⎪⎪⎨⎪
− + =⎪⎩
 0,25 
⇔ 
1 1
2
x
x y
⎧
=⎪⎨⎪ + =⎩
 hoặc 
1 1
2
1
2
x
x y
⎧
=⎪⎪⎨ ⎪ + =⎪⎩
0,25 
⇔ 
1
1
x
y
=⎧⎨
=⎩
 hoặc 
2
3 .
2
x
y
=⎧⎪⎨
= −⎪⎩
Nghiệm của hệ: và ( ; ) (1;1)x y = 3( ; 
0,25 
) 2; .
2
x y ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Tính tích phân 
Đặt 3, ; 1, ; 3,x dtt e dx x t e x t e
t
= = = = = = 0,25 . 
3
( 1)
e
e
dtI
t t
=
−
∫ =
3
1 1
1
e
e
∫ dtt t⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠ 0,25 
= 
3 3
ln | 1| ln| |e ee et t− − 0,25 
III 
(1,0 điểm) 
= 2ln( 1) 2.e e+ + − 0,25 
Tính thể tích khối chóp... IV 
(1,0 điểm) Hạ ; là đường cao 
của tứ diện 
( )IH AC H AC⊥ ∈ ⇒ ( )IH ABC⊥ IH
.IABC 
⇒ // 'IH AA ⇒ 2
' ' 3
IH CI
AA CA
= = ⇒ 2 4' .
3 3
aIH AA= = 
2 2' ' 5,AC A C A A a= − = 2 2 2 .BC AC AB a= − = 
Diện tích tam giác :ABC 21 . .
2ABC
S AB BCΔ = = a 
Thể tích khối tứ diện :IABC 
31 4. .
3 9ABC
aV I H SΔ= =
0,50 
A C 
C' A' 
B
B' 
M 
K 
I 
H 
a 
2a 
3a 
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm
Hạ ' ( ' ).AK A B K A B⊥ ∈ Vì ( ' ')BC ABB A⊥ nên ⇒ AK BC⊥ ( ).AK IBC⊥ 
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) là IBC .AK 0,25 
'
2 2
2 '. 2 5 .
' 5'
AA BS AA AB aAK
A B A A AB
Δ
= = =
+
 0,25 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
Do nên: 1,x y+ = 2 2 3 316 12( ) 9 25S x y x y xy x= + + + + y
0,25 
 2 2 316 12 ( ) 3 ( ) 34x y x y xy x y xy⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦ 2 216 2 12.x y xy= − + 
Đặt ta được: ,t xy= 216 2 12;S t t= − +
2( ) 10
4 4
x yxy +≤ ≤ = ⇒ 10; .
4
t ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Xét hàm trên đoạn 2( ) 16 2 12f t t t= − + 10;
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
'( ) 32 2;f t t= − '( ) 0f t = ⇔ 1 ;
16
t = (0) 12,f = 1
16
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
191,
16
 1
4
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
25.
2
10;
4
1 25max ( ) ;
4 2
f t f
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 10;
4
1 191min ( ) .
16 16
f t f
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25 
Giá trị lớn nhất của bằng S 25 ;
2
 khi 
1
1
4
x y
xy
+ =⎧⎪⎨
=⎪⎩
 ⇔ 1 1( ; ) ; .
2 2
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
V 
(1,0 điểm) 
Giá trị nhỏ nhất của bằng S 191;
16
 khi 
1
1
16
x y
xy
+ =⎧⎪⎨
=⎪⎩
⇔ 2 3 2 3( ; ) ;
4 4
x y
⎛ ⎞+ −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 hoặc 2 3 2 3( ; ) ; .
4 4
x y
⎛ ⎞
− +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0,25 
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Toạ độ A thoả mãn hệ: ⇒ 7 2 3 0
6 4 0
x y
x y
− − =⎧⎨
− − =⎩
(1;2).A
B đối xứng với A qua ,M suy ra (3; 2).B = −
0,25 
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 4x y− − = 0.
.Phương trình : 6 9 0BC x y+ + = 0,25 
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng N BC thoả mãn hệ: 
7 2 3 0
6 9 0
x y
x y
− − =⎧⎨
+ + =⎩
⇒ 30; .
2
N ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
⇒ phương trình đường thẳng (2. 4; 3 ;AC MN= = − − )JJJG JJJJG : 3 4 5 0.AC x y− + = 0,25 
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...D 
( 1;1;2),AB = −
JJJG
 phương trình :AB
2
1
2 .
x t
y t
z t
= −⎧⎪
= +⎨⎪
=⎩
 0,25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
D thuộc đường thẳng AB (2 ;1 ;2 ) (1 ; ;2 ).D t t t CD t t t⇒ − + ⇒ = −JJJG 0,25 
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) :P (1;1;1).n =
G
C không thuộc mặt phẳng ( ).P
//( ) . 0CD P n CD⇔ =
G JJJG 11.(1 ) 1. 1.2 0 .
2
t t t t⇔ − + + = ⇔ = − Vậy 5 1; ; 1 .
2 2
D⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
Tìm tập hợp các điểm 
Đặt ( , );z x yi x y= + ∈\ ( ) ( )3 4 3 4 .z i x y− + = − + +
VII.a 
i 0,25 
Từ giả thiết, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 2 3 4 4x y x y− + + = ⇔ − + + = . 0,50 
(1,0 điểm) 
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm bán kính z (3; 4I − ) 2.R = 0,25 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...M 
Gọi điểm ( ); .M a b Do ( );M a b thuộc nên ( )C ( )2 21 1;a b− + = ( )O C∈ ⇒ 1.IO IM= = 0,25 
Tam giác IMO có nên nOIM = 120D 2 2 2 2 22 . .cos120 3.OM IO IM IO IM a b= + − ⇔ + =D 0,25 
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ( )
2 2
2 2
3
1 1 2
33 .
2
aa b
a b b
⎧
=⎪⎧
− + =⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
+ =⎪ ⎪⎩ = ±⎪⎩
 Vậy 3 3; .
2 2
M
⎛ ⎞
= ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 0,50 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Toạ độ giao điểm của với thoả mãn hệ: I Δ ( )P
2 2
1 1 1
x
2 3 4 0
y z
x y z
+ −⎧
= =⎪
−⎨⎪ + − + =⎩
 ⇒ ( 3;1;1).I − 0,25 
Vectơ pháp tuyến của vectơ chỉ phương của ( ) :P (1;2; 3);n = −
G
:Δ (1;1; 1).u = −
G
 0,25 
Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương d I ( ), 1; 2; 1v n u⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦
G
.
G G
 0,25 
VI.b 
(2,0 điểm) 
Phương trình :d
3
1 2
1 .
x t
y t
z t
= − +⎧⎪
= −⎨⎪
= −⎩
 0,25 
Tìm các giá trị của tham số ...m VII.b 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
2 1 2x x x m
x
+ −
= − + ⇔ 23 (1 ) 1 0 ( 0).x m x x+ − − = ≠ 0,25 
(1,0 điểm) 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 0 với mọi .m 0,25 
1 2 1.
2 6I
x x mx + −= =Hoành độ trung điểm của I 0,25 :AB
10 0
6I
mI Oy x m−∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ =1. 0,25 
-------------Hết-------------