Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối A năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
 Môn: TOÁN; Khối: A 
 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 180 phút)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y= , m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1.
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình tan.tan=
Giải bất phương trình
 .
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I=.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Chứng minh rằng: 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;-5) và đường thẳng : 3x-4y+4=0. Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y-5z+1=0 và hai đường thẳng
 d1 : 
 d2 : 
Hãy viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1, d2.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho khai triển (1+2x)10 (x2+x+1)2=a0+a1x+a2x2++a14x14. Hãy tìm giá trị của a6.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn , đường thẳngd : x+y+m=0 . Tìm để cắt d tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng . 
Câu VII.b(1,0 điểm) Tìm hệ số của x2 trong khai triển , biết n là hệ số nguyên dương thỏa mãn 2C+.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I. 1. Bạn đọc tự giải.
2. 
* Ta có 
* Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 ngiệm phân biệt và đổi dấu: m<2 (1). Tọa độ các điểm cực trị là: 
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A:
 thỏa mãn (1)
Trong đó 
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Câu II. 1. Điều kiện 
Để ý rằng
Khi đó PT đầu trở thành
 Không thoả điều kiện (*).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. 
* Đk: x 4. Đặt t = (t > 0) 
BPT trở thành: t2 - t - 6 0 
* Với t 3 2 9 - 2x 
* (a) x .
* (b) .
*Tập nghệm của BPT là: T=
Câu III. 
*Đặt t= và x=
 Đổi cận 
x
0 4
t
2 4
* Ta có I= 4
2 =2ln2-.
S
A
B
K
H
C
O
I
D
a
Câu IV. Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó ABD=600 Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). 
 Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, 
K là trung điểm của HB ta có và DH = ; 
OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ 
OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ
Diện tích đáy 
đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp S.ABCD: .
Câu V. Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
	= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
mà	a3 + ab2 ³ 2a2b 
	b3 + bc2 ³ 2b2c
	c3 + ca2 ³ 2c2a	
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
Suy ra 
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t ³ 3.
Suy ra Þ VT ³ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Câu VI.a. 1. Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là 
Theo giả thiết ta có 
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
2. Phương trình tham số của d1 và d2 là : 
Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m) 
(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
Do d ^ (P) có VTPT nên có nghiệm
Giải hệ tìm được 
Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: thoả mãn bài toán
Câu VII.a. 
 Ta có nên 
Trong khai triển hệ số của là: 
Trong khai triển hệ số của là: 
Trong khai triển hệ số của là: 
Vậy hệ số 
Câu VI.b. 1. *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 
*(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
*Ta có SOAB=
Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi 
2. Ta có phương trình tham số của d là: 
 Þ toạ độ điểm M là nghiệm của hệ (tham số t)
Lại có VTPT của(P) là , VTCP của d là .
 Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP 
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó.
Ta có vuông góc với nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0 
Lại có N(P) và MN = ta có hệ: 
Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
Nếu N(5; -2; -5) ta có pt 
Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt 
Câu VII.b. Ta có 2
Lại có ( Nhị thức Newton)
Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: 
Vậy hệ số cần tìm là .