Đề thi Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2005

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2005
Câu I   (6 điểm).
Cho phương trình sau: 
  với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm 
Câu II   (3 điểm)
Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC.
1) Tính độ dài đoạn OG theo R.
2) Biêt R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số sau dấu phảy).
Câu III   (3 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC.
Câu IV   (8 điểm). Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi A1, B1, C1 thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh tam giác A1B1C1 là tam giác nhọn.
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi là số đo của góc nhị diện , tìm theo B và C.
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: