Đề thi thử đại học (lần thứ 1) môn thi: Toán; khối B, D

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 (lần thứ 1)
Môn thi: TOÁN; khối B, D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
v PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh:(7 ®iÓm)
C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho điểm A có hoành độ bằng 2 và BC=.
C©u II (2 ®iÓm)
Giải phương trình: .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
C©u III (1®iÓm) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình:có nghiệm duy nhất.
C©u IV (1 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh đường thẳng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF).
C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biểu thức:
v PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc chän lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B)
A. Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VI.a (2 ®iÓm) 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng D: x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : , có các tiêu điểm là . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên elip (E) sao cho .
C©u VII.a (1 ®iÓm) Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng .
B. Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao.
C©u VI.b (2 ®iÓm) 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 
. Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (C’) có bán kính R’ = 2, biết (C’) tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) tại A.
Trong không gian với hệ toạ độ , cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và cắt các trục lần lượt tại các điểm và sao cho thể tích khối tứ diện bằng . ( là gốc toạ độ).
C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hàm số:(a là tham số) có đồ thị là (Ca). T×m tất cả các giá trị của a ®Ó (Ca) cã tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng ph©n gi¸c của gãc phần tư thø nhÊt trong hÖ trục täa ®é Oxy. Với các giá trị a khi ®ã, chứng tỏ hàm số luôn có hai cực trị.
______________HÕt______________
Họ và tên thí sinh:................................................; Số báo danh.......................
§¸p ¸n - thang ®iÓm 
 THI THö §¹I HäC N¡M HäC 2012 (lần thứ 1)
M«n thi: To¸n, khèi: B, D
(Häc sinh lµm theo c¸ch kh¸c ®óng, vÉn cho ®iÓm tèi ®a)
C©u
§¸p ¸n
§iÓm
I
(2 ®iÓm)
1. (1,0 ®iÓm)
Hàm số y = x3 - 3x + 2.
± Tập xác định của hàm số là R.
± Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn tại vô cực:
Ta có 
b) Bảng biến thiên:
Ta có 	y’ = 3x2 - 3
	y’= 0 Û x = -1 hoặc x =.
x
-¥
 -1
1
 +¥
y’
	 + 0 - 0 +
y
-¥
4
0
 +¥
– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; -1) và (1; +¥), nghịch biến trên (-1;1).
• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại của hàm số là y(-1) = 4.
0
x
y
1
-2
2
2
4
(C)
-1
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là = 0.
± Đồ thị:
– Điểm uốn
Ta có 	; .
Nhận thấy y’’ đổi dấu khi x qua điểm . Do đó, điểm là điểm uốn của đồ thị.
– Đồ thị cắt trục tung tại điểm 
– Phương trình .
Do đó, đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm là và (1; 0). Ngoài ra đồ thị còn đi qua điểm (2; 4).
– Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốnlàm tâm đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1 ®iÓm)
Với . Đường thẳng đi qua với hệ số góc k có phương trình: 	.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và là:
Điều kiện để có hai điểm B, C là phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2 hay tương đương với (*)
Khi đó , với là nghiệm phương trình (1) và 	; ; 
Ta có 
Suy ra 
Hay 	(theo Viet)
Theo giả thiết BC =nên ta có 
	 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy đường thẳng y = x + 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
II
(2 ®iÓm)
1. (1,0 ®iÓm) Đặt là (1)
Điều kiện xác định của phương trình là: , (*)
Với điều kiện (*), phương trình:
 (1) 
Các giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện (*) nên là nghiệm của phương trình đã cho.
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,0 ®iÓm) Ta có:
	 (chia hai vế của phương trình cho )
§Æt , ta ®­îc phương trình : 15t - 25t +10 = 0 
Với 
Với 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và .
0,25
0,25
0,25
0,25
III
(1 ®iÓm)
Ta có
	(I) 
Với điều kiện ta có:
	(I) 
Do x = 0 không là nghiệm của (1) nên :
Xét hàm số :	 với 
Suy ra bảng biển thiên của hàm số
x
f’(x)
f(x)
0
1
+
+
2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất x
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số trên tại đúng một điểm. Từ bảng biến thiên, suy ra .
Vậy là các giá trị cần xác định của tham số m.
Chú ý : Học sinh có thể sử dụng phương pháp lớp 10 trong bài này.
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
(1 ®iÓm)
a) Gọi O = AC BD
D
S
A
B
C
E
F
N
M
K
O
2a
a
Theo giả thiết SA = SB = SC= SD 	
và OA = OB = OC = OD, tức hai điểm S và O cách đều bốn điểm A, B, C, D. Suy ra 
Trong tam giác vuông SOA,
 SO2 = SA2 - AO2 = 
 .
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là:
 (đvtt).
b) Gọi K là trung điểm EF, khi đó K là trung điểm SN.
Ta có , do đó , suy ra tam giác SMN cân tại M, dẫn đến 
Mặt khác , suy ra . đpcm.
0,25
0,25
0,25
0,25
V
(1 ®iÓm)
Ta biến đổi 
Do nên .
Đặt , điều kiện của t là 
Khi đó biểu thức 
ta thấy với mọi , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:
.
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a
(2 ®iÓm)
A
B
C
H
1. (1,0 ®iÓm)
Gọi H là trung điểm BC, khi đó;
Theo giả thiết 
Suy ra .
Đường thẳng AH đi qua điểm A(-1;4) và vuông góc với đường thẳng nên có phương trình: 1.(x + 1) + 1.(y – 4) = 0, hay .
tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: , suy ra tọa độ 
Điểm B nằm trên đường thẳng nên B có tọa độ dạng B(m; m – 4) 
Vậy tọa độ của hai điểm B, C là:
 hoặc là 
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,0 ®iÓm)
Từ phương trình của elip ta có .
Vậy hai tiêu điểm của elip là 
Gọi thuộc elip, khi đó ta có 
, suy ra M nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = =, đo đó ta có phương trình 
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được 
 Vậy có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán, M có tọa độ là:
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.a
(1 ®iÓm)
Ta có 
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm 
Phương trình của d có dạng: 
Hay	.
Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến d bằng 
Giải được nghiệm và 
Vậy các tiếp tuyến cần tìm có phương trình là : và .
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b
(2 ®iÓm)
1. (1,0 ®iÓm) 
A
y
2
O
I
x
I’
Đường tròn (C) có tâm là I(-2; 0) và bán kính R = 4.
Tia Oy cắt đường tròn tại A(0;2).
Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’).
Phương trình đường thẳng IA : 
Điểm nên I’()
Từ giả thiết đường tròn (C’) bán kính R’ = 2 tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) bán kính :
R = 4 tại điểm A nên ta có: 
Vậy đường tròn (C’) có phương trình: .
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,0 ®iÓm) 
Do các điểm A và C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy và khác gốc O nên:
 với 
Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên 3 trục tọa độ nên có phương trình dạng: 	(phương trình theo đoạn chắn)
Theo giả thiết 	(1)
 	(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1 ®iÓm)
+) Tập xác định 
Ta cã: 
§å thÞ cã tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t­ thø nhÊt y = x khi vµ chØ khi hệ số góc của tiếp tuyến là
 Hay phương trình cã nghiÖm x
	 cã nghiÖm x kh¸c -1
 	.
+) Ta có x2 + 2x +3 – a = 0, (*) ()
Đặt ; ta có 0 với 
Phương trình (*) có với .
Vậy khi thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1 và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm này, khi đó hàm số luôn có hai cực trị. đpcm.
0,25
0,25
0,25
0,25
____________HÕt___________