Đề thi minh họa - Kỳ thi THPT quốc gia năm 2015 - Môn: Toán

 BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ THI MINH H ỌA - KỲ THI THPT QU ỐC GIA NĂM 2015 
 Môn: TOÁN 
 Th ời gian làm bài: 180 phút. 
 2x − 1
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm s ố y = . 
 x + 1
 a) Kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị ( C) c ủa hàm s ố đã cho. 
 b) Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị (C), bi ết ti ếp điểm có hoành độ x = 1. 
Câu 2.(1,0 điểm) 
 π 3 tan α
 a) Cho góc α th ỏa mãn: <α < π và sin α = . Tính A = . 
 2 5 1+ tan 2 α
 b) Cho s ố ph ức z thỏa mãn hệ th ức: (1+iz ) +− (3 iz ) =− 2 6 i . Tính mô đun c ủa z. 
Câu 3.(0,5 điểm) Gi ải ph ươ ng trình: log(3x+ 2) = 1 − log 3 x . 
Câu 4.(1,0 điểm) Gi ải bất ph ươ ng trình: xxx2++ −≥2 3( xx 2 −− 2 2). 
 2
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I=∫ (2 x3 + ln xx )d. 
 1
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t ại B, AC = 2a, 
ACB = 30o , 
Hình chi ếu vuông góc H của đỉnh S trên m ặt đáy là trung điểm c ủa c ạnh AC và SH= 2 a . Tính theo 
a th ể tích kh ối chóp S.ABC và kho ảng cách t ừ điểm C đến m ặt ph ẳng ( SAB). 
Câu 7.(1,0 điểm) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thu ộc 
đường th ẳng ∆:4x + 3 y − 12 = 0 và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O. G ọi C là điểm 
nằm trên ∆ sao cho AC= AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so v ới điểm A. Bi ết điểm C có 
 24
hoành độ b ằng , tìm t ọa độ của các đỉnh A, B. 
 5
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian v ới h ệ t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1;− 1). Vi ết 
ph ươ ng trình m ặt ph ẳng trung tr ực ( P) c ủa đoạn th ẳng AB và ph ươ ng trình m ặt c ầu tâm O, ti ếp xúc 
với ( P). 
Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia m ột bu ổi thi v ấn đáp. Cán b ộ hỏi thi đư a cho m ỗi thí 
sinh m ột bộ câu h ỏi thi g ồm 10 câu h ỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình 
th ức gi ống h ệt nhau, m ỗi phong bì đựng 1 câu h ỏi; thí sinh ch ọn 3 phong bì trong s ố đó để xác định 
câu h ỏi thi c ủa mình. Bi ết r ằng b ộ 10 câu h ỏi thi dành cho các thí sinh là nh ư nhau, tính xác su ất để 3 
câu h ỏi A ch ọn và 3 câu h ỏi B ch ọn là gi ống nhau. 
Câu 10.(1,0 điểm) Xét s ố th ực x. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức sau: 
 32(x2 + 2 x + 1 ) 1 1
 P = + + .
 3 2x2+−() 3332 x + x 2 ++ () 333 x + 
 ----------- HẾT ----------- BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
 ĐỀ THI MINH H ỌA - KỲ THI THPT QU ỐC GIA N ĂM 2015 
 Môn: TOÁN 
 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
 Câu 1 a) (1,0 điểm) 
 (2,0 điểm) ● Tập xác định: D =» \{ − 1} . 
 ● Gi ới h ạn và ti ệm c ận: 
 lim y = − ∞ , lim y = + ∞ ; limy= lim y = 2. 0,25 
 x →( − 1) + x →( − 1) − x→−∞ x →+∞
 Suy ra, đồ th ị hàm s ố có m ột ti ệm c ận đứng là đường th ẳng x = − 1 và m ột 
 ti ệm c ận ngang là đường th ẳng y = 2. 
 ● Sự bi ến thiên: 
 3
 - Chi ều bi ến thiên: y' = > 0 ∀x ∈ D. 
 (x + 1) 2
 0,25 
 Suy ra, hàm s ố đồng bi ến trên m ỗi kho ảng (− ∞; − 1 ) và (−1; + ∞ ) . 
 - Cực tr ị: Hàm s ố đã cho không có c ực tr ị. 
 ư
 L u ý: Cho phép thí sinh không nêu k ết lu ận v ề cực tr ị c ủa hàm s ố. 
 - Bảng bi ến thiên: 
 x – ∞ – 1 + ∞ 
 y' + + 0,25 
 + ∞ 2 
 y 
 2 – ∞ 
 ● Đồ th ị ( C): 
 y 
 2 0,25 
 −1 O ½ x 
 −1 
 b) (1,0 điểm) 
 1
 Tung độ y của ti ếp điểm là: y= y (1) = . 0,25 
 0 0 2
 3
 Suy ra h ệ s ố góc k của ti ếp tuy ến là: k= y '(1) = . 0,25 
 4
 3 1
 Do đó, ph ươ ng trình c ủa ti ếp tuy ến là: y=( x − 1) + ; 0,25 
 4 2
 3 1
 hay y= x − . 0,25 
 4 4
 Câu 2 a) (0,5 điểm) 
 tan α 3
(1,0 điểm) Ta có: A = =tan α.cos 2 α =sin α.cos α = cos α. (1) 0,25 
 1+ tan 2 α 5
 3  2 16
 cos 2α =−1 sin 2 α =−1  = . (2) 
 5  25
 π  4
 Vì α ∈ ; π  nên cos α < 0. Do đó, t ừ (2) suy ra cos α = − . (3) 0,25 
 2  5
 12
 Th ế (3) vào (1), ta được A = − . 
 25
 b) (0,5 điểm) 
 Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ » ); khi đó z= a − bi . Do đó, kí hi ệu ( ∗) là h ệ th ức cho 
 trong đề bài, ta có: 
 0,25 
 (∗) ⇔ (1+iabi )( + ) +− (3 iabi )( − ) =− 26 i 
 ⇔ (4ab− 2 −+− 2) (6 2) bi = 0 
 4a− 2 b − 20 = a = 2
 ⇔ ⇔ 
 {6− 2b = 0 {b = 3.
 0,25 
 Do đó |z |= 22 + 3 2 = 13. 
 ● Đ ề ệ đị
 Câu 3 i u ki n xác nh: x > 0. (1) 
 ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là ph ươ ng trình đã cho, ta có: 
(0,5 điểm) 0,25 
 (2) ⇔ log(3x+ 2) + log 3 x = 1 ⇔ log3 (x ( x + 2)) = log 3 3 
 ⇔ x2 +2 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 (do (1)). 0,25 
 Câu 4 ● Điều ki ện xác định: x ≥1 + 3. (1) 
(1,0 điểm) ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là b ất ph ươ ng trình đã cho, ta có: 0,25 
 (2) ⇔ xx2 +−+2 2 2 xxx ( + 1)( −≥ 2) 3( xx2 −− 2 2) 
 ⇔ xx(− 2)( x +≥ 1) xx ( −− 2) 2( x + 1) 
 ⇔ ( xx(−− 2) 2( x + 1))( xx ( −++≤ 2) ( x 1)) 0. (3) 
 0,50 
 Do v ới m ọi x th ỏa mãn (1), ta có x( x− 2) + ( x +> 1) 0 nên 
 (3) ⇔ x( x− 2) ≤ 2( x + 1) 
 ⇔ x2 −6 x − 4 ≤ 0 
 ⇔ 3− 13 ≤≤+x 3 13. (4) 
 0,25 
 Kết h ợp (1) và (4), ta được t ập nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình đã cho là: 
  
 1+ 3;3 + 13.  Câu 5 2 2
 3 0,25 
(1,0 điểm) Ta có: I=∫2 xx d + ∫ ln xx d . (1) 
 1 1
 2 2
 3
 Đặt I1 = ∫ 2 x d x và I2 = ∫ ln x d x . Ta có: 
 1 1
 2 0,25 
 14 15
 I1 = x = . 
 21 2
 2 2
 Ixxxx=.ln2 − d(ln ) =−=−=− 2ln 2 d x 2ln 2 x 2 2ln 2 1.
 2 1 ∫ ∫ 1 
 1 1 0,50 
 13
 Vậy I= I + I = + 2ln 2. 
 1 2 2
 Câu 6 
(1,0 điểm) 
 1
 Theo gi ả thi ết, HA= HC = AC = a và SH ⊥ mp( ABC ). 
 2 0,25 
 Xét ∆v. ABC , ta có: BCAC=.cos
 ACB = 2.cos30 ao = 3. a 
 1 1 3
 Do đó S= ACBC. .sin
 ACB = .2.3.sin30 aao = a 2 . 
 ABC 2 2 2
 0,25 
 1 136 a3
 Vậy V= SHS. = .2. aa 2 = . 
 S. ABC3 ABC 32 6
 Vì CA = 2HA nên d(C, ( SAB )) = 2d(H, ( SAB )). (1) 
 Gọi N là trung điểm c ủa AB , ta có HN là đường trung bình c ủa ∆ABC . 
 đ ⊥ ạ ⊥ ⊥ đ
 Do ó HN // BC . Suy ra AB HN . L i có AB SH nên AB mp( SHN ). Do ó 0,25 
 mp( SAB ) ⊥ mp( SHN ). Mà SN là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng v ừa nêu, nên 
 trong mp( SHN ), h ạ HK ⊥ SN , ta có HK ⊥ mp( SAB ). 
 Vì v ậy d(H, ( SAB )) = HK . K ết h ợp v ới (1), suy ra d(C, ( SAB )) = 2HK . (2) 
 Vì SH ⊥ mp( ABC ) nên SH ⊥ HN . Xét ∆v. SHN , ta có: 
 1 1 1 1 1
 = + = + . 
 HK2 SH 2 HN 222 a HN 2
 1 3 a
 Vì HN là đường trung bình c ủa ∆ABC nên HN= BC = . 
 2 2 0,25 
 1 1 4 11 66 a
 Do đó = + = . Suy ra HK = . (3) 
 HK22 a 2 3 a 2 6 a 2 11
 2 66 a
 Th ế (3) vào (2), ta được d() C,() SAB = . 
 11 Câu 7 
(1,0 điểm) 
 Trên ∆, l ấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so v ới B. 
 Gọi E là giao điểm c ủa các đường th ẳng KA và OC ; g ọi F là giao điểm c ủa các 
 đường th ẳng KB và OD . 
 Vì K là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O của ∆OAB nên KE là phân giác c ủa góc 
 OAC
. Mà OAC là tam giác cân t ại A (do AO = AC , theo gt) nên suy ra KE cũng 
 là đường trung tr ực c ủa OC . Do đó E là trung điểm c ủa OC và KC = KO . 
 Xét t ươ ng t ự đối v ới KF , ta c ũng có F là trung điểm c ủa OD và KD = KO . 0,50 
 Suy ra ∆CKD cân t ại K. Do đó, h ạ KH ⊥ ∆, ta có H là trung điểm c ủa CD . 
 Nh ư v ậy: 
 + A là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d1 của đoạn th ẳng OC ; (1) 
 + B là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d2 của đoạn th ẳng OD , v ới D là điểm đối 
 xứng c ủa C qua H và H là hình chi ếu vuông góc c ủa K trên ∆. (2) 
 24
 Vì C ∈ ∆ và có hoành độ x = (gt) nên g ọi y là tung độ c ủa C, ta có: 
 0 5 0
 24 12
 4.+ 3y − 12 = 0. Suy ra y = − . 
 5 0 0 5
 12 6 
 Từ đó, trung điểm E của OC có t ọa độ là ; −  và đường th ẳng OC có 
 5 5 
 ph ươ ng trình: x+2 y = 0. 0,25 
 Suy ra ph ươ ng trình c ủa d1 là: 2x− y − 60. = 
 Do đó, theo (1), t ọa độ c ủa A là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 
 4x+ 3 y − 12 = 0
 {2x− y − 6 = 0.
 Gi ải h ệ trên, ta được A = (3; 0). Gọi d là đường th ẳng đi qua K(6; 6) và vuông góc v ới ∆, ta có ph ươ ng trình c ủa 
 d là: 3x− 4 y + 6 = 0. Từ đây, do H là giao điểm c ủa ∆ và d nên t ọa độ c ủa H là 
 nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 
 4x+ 3 y − 12 = 0
 {3x− 4 y + 6 = 0.
 6 12  12 36 
 Gi ải h ệ trên, ta được H = ;  . Suy ra D = − ;  . 
 5 5  5 5 
 6 18  0,25 
 Do đó, trung điểm F của OD có t ọa độ là − ;  và đường th ẳng OD có 
 5 5 
 ph ươ ng trình: 3x+ y = 0. 
 Suy ra ph ươ ng trình c ủa d2 là: x−3 y + 12 = 0. 
 Do đó, theo (2), t ọa độ c ủa B là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 
 4x+ 3 y − 12 = 0
 {x−3 y + 12 = 0.
 Gi ải h ệ trên, ta được B = (0; 4). 
 Câu 8 3 1 1 
 Gọi M là trung điểm c ủa AB , ta có M =; ; −  . 
(1,0 điểm) 2 2 2 
  0,25 
 Vì ( P) là m ặt ph ẳng trung tr ực c ủa AB nên ( P) đi qua M và AB =( − 1; 1; − 1) là 
 một vect ơ pháp tuy ến c ủa ( P). 
 3  1   1 
 Suy ra, ph ươ ng trình c ủa ( P) là: (− 1)x −+−+−  y  ( 1)  z +  = 0 
 2  2   2  0,25 
 hay: 2x− 2 y + 2 z −= 1 0. 
 |1|− 1
 Ta có d( O , ( P ))= = . 0,25 
 22+ (2) − 2 + 2 2 2 3
 1
 Do đó, ph ươ ng trình m ặt c ầu tâm O, ti ếp xúc v ới ( P) là: x2+ y 2 + z 2 = 
 12 0,25 
 hay 12x2+ 12 y 2 + 12 z 2 −= 1 0. 
 Câu 9 Không gian m ẫu Ω là t ập h ợp g ồm t ất c ả các c ặp hai b ộ 3 câu h ỏi, mà ở v ị trí 
(0,5 điểm) th ứ nh ất c ủa c ặp là b ộ 3 câu h ỏi thí sinh A ch ọn và ở v ị trí th ứ hai c ủa c ặp là b ộ 
 3 câu h ỏi thí sinh B ch ọn. 0,25 
 3
 Vì A cũng nh ư B đều có C10 cách ch ọn 3 câu h ỏi t ừ 10 câu h ỏi thi nên theo quy 
 3 2
 tắc nhân, ta có n()Ω = ( C10 ) . 
 Kí hi ệu X là bi ến c ố “b ộ 3 câu h ỏi A ch ọn và b ộ 3 câu h ỏi B ch ọn là gi ống 
 nhau”. 
 Vì v ới m ỗi cách ch ọn 3 câu h ỏi c ủa A, B ch ỉ có duy nh ất cách ch ọn 3 câu h ỏi 
 3 3
 giống nh ư A nên n(ΩX ) =C10 .1 = C 10 . 
 n(Ω ) C3 1 1 0,25 
 Vì v ậy P( X )=X =10 == .
 3 2 3
 n()Ω C C10 120
 ()10 
 Câu 10 Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , v ới m ỗi s ố th ực x, xét các điểm A( x ; x + 1) , 
(1,0 điểm) 3 1  3 1 
 B; −  và C −; −  . 
 2 2  2 2  0,25 
 OA OB OC
 Khi đó, ta có P = + + , trong đó a = BC , b = CA và c = AB . 
 a b c
 Gọi G là tr ọng tâm ∆ABC , ta có: 
 OAGA. OB . GB OC .3. GC OAGA OB . GB OC . GC 
 P =++ = ++  , 
 aGA. bGB . cGC .2. ama bm . b cm . c  0,25 
 trong đó ma, m b và mc tươ ng ứng là độ dài đường trung tuy ến xu ất phát t ừ A, 
 B, C của ∆ABC . 
 Theo b ất đẳng th ức Cô si cho hai s ố th ực không âm, ta có 
 1 2 2 2 2
 am.a = .32 ab() + 2 ca −
 2 3
 2 2 22 
 1 3a+() 2 b + 2 ca − a2+ b 2 + c 2
 ≤. = .
 232 23 0,25 
 a2+ b 2 + c 2 a2+ b 2 + c 2
 Bằng cách t ươ ng t ự, ta c ũng có: b. m ≤ và c. m ≤ . 
 b 2 3 c 2 3
 3 3
 Suy ra P≥() OAGA. + OB . GB + OC .. GC (1) 
 a2+ b 2 + c 2
   
 Ta có: OAGA.+ OBGB . + OCGC . ≥ OAGA . + OBGB . + OCGC .. (2) 
   
 OAGA. + OB  . GB +  OC . GC     
 =+()()()OG GA. GA ++ OG GB . GB ++ OG GC . GC
    
 =OG.() GA +++++ GB GC GA2 GB 2 GC 2 
 2 2 2 0,25 
 4 2 2 2 a+ b + c
 =()ma ++ m b m c = . (3)
 9 3
 Từ (1), (2) và (3), suy ra P ≥ 3. 
 Hơn n ữa, b ằng ki ểm tra tr ực ti ếp ta th ấy P = 3 khi x = 0. 
 Vậy minP = 3.