Đề thi lý thuyết chọn GVDG cấp huyện Thanh Chương và đội tuyển dự thi GVDG cấp tỉnh chu kỳ 2012 – 2016 môn thi: Toán

UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÀ ĐỘI TUYỂN DỰ THI GVGD CẤP TỈNH CHU KỲ 2012 – 2016
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )
 ( Đề thi gồm 01 trang )
Bài 1: ( 2.0 điểm ) a. Theo anh ( chị ) bài tập toán có những chức năng nào? 
b. Anh (chị) hãy cho biết những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề.
Bài 2: ( 1.0 điểm ) Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãn x2+3y=257. Một học sinh đã giải như sau:
 Vì x2 là số chính phương nên x2 chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Mặt khác: 3y chia hết cho 3 nên x2+ 3y chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y ∈N để x2+3y=257.
Anh ( chị ) hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải trên và giải lại cho đúng.
Bài 3: ( 1.5 điểm ) a. Tìm số nguyên dương x để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố: 
 P=x4+x2+1. 
 Anh ( chị ) hãy giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
b. Giải phương trình sau: x2-1-2x+1=3x-1-6
Bài 4: ( 2.0 điểm ) a. Cho 2a = 3b = 4c. Chứng minh rằng: 2( a – c )2 = 9( a- b )( b- c )
b. Cho phương trình x2-2m-1x+m2-6=0 ( m là tham số) . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 = 16. 
c. Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x20y11+ y20z11+z20x11
Bài 5: ( 3.5 điểm ) Cho nửa đường tròn ( O ; R ), đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Điểm M chuyển động trên nửa đường tròn ( M≢A;M≢B ). Qua M vẽ tiếp tuyến d với (O) cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D. Chứng minh rằng : AC.BD = R2
Anh ( chị ) hãy giải bài toán trên. 
Hãy phát biểu và chứng minh bài toán đảo.
Hạ MH vuông góc với AB ( H ∈ AB ). Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tam giác AMH có diện tích lớn nhất.
Hết .
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI GVGD 
CẤP TỈNH CHU KỲ 2012 – 2016
MÔN THI : TOÁN
BÀI
Ý
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐIỂM
Bài 1: 2.0điểm
1.a 
1.0 điểm
Chức năng của bài tập toán:
Chức năng dạy học
Chức năng giáo dục
Chức năng phát triển 
Chức năng kiểm tra
0.25
0.25
0.25
0.25
1.b 
1.0 điểm
Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề:
Dự đoán nhờ nhận xét trực quan hoặc thực nghiệm
Lật ngược vấn đề
Xem xét tương tự
Khái quát hoá
Phát hiện sai lầm, tìm nguyên nhân và sửa chữa
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
Bài 2:
1.0điểm
Chỉ ra sai lầm 3y chia hết cho 3 là sai vì với y = 0 thì 
30 = 1 không chia hết cho 3
Nếu y = 0 thì x2 = 256 ⇒ x = 16 ( thoả mãn ) 
Nếu y ≥1
Vì x2 là số chính phương nên x2 chia hết cho 3 hoặc chia cho 3dư 1.
Lại có : 3y chia hết cho 3 nên x2+ 3y chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y ∈N với y≥1 để x2+3y=257.
Vậy x =16 ; y = 0 là cặp số duy nhất thoả mãn điều kiện bài toán
0.5
0.25
0.25
Bài 3:
1.5điểm
3.a
0.75 điểm
 Giải
P=x4+x2+1=(x2-x+1)(x2+x+1)
Vì x nguyên dương và x2+x+1>x2-x+1 nên P có giá trị là số nguyên tố khi x2-x+1=1 x = 0 (ktm) hoặc x = 1
Với x = 1 thì P = 3 là số nguyên tố ( tm) 
Vậy x = 1 thì P có giá trị là số nguyên tố
 Hướng dẫn giải : 
Phân tích P=x4+x2+1 thàmh nhân tử ?
So sánh x2+x+`1 với x2-x+`1 ?
P có giá trị là số nguyên tố khi nào ? 
Từ đó hãy tìm x ?
0.25
0.25
0.25
3.b
0.75 điểm
 ĐKXĐ: x≥1 
 pt đã cho⇔x-1-2x+1-3=0. 
Từ đó suy ra: x = 5 ( TMĐK ) hoặc x = 8 ( TMĐK )
0.25
0.25
0.25
Bài 4: 
2.0điểm
4.a
0.75 điểm
2a=3b=4c⇒a6=b4=c3=a-b2=b-c1=a-c3
 ⇒ a-b2.b-c1=(a-c)29⇒ 2( a – c )2 = 9( a- b )( b- c ) (đpcm)
0.5
0.25
4. b
0.75 điểm
PT có hai nghiệm x1; x2 -2m + 7 0m (*)
Theo hệ thức Viét ta có:	x1+x2=2m-1 (1) x1x2 =m2-6 (2) 
 Lại có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 =16	(3)
 Từ (1), (2) và (3) ta có: 2m2 – 8 m = 0 
m = 0 (TM (*)) Hoặc m = 4 (Loại do KTM (*)).Vậy m = 0
0.25
0.25
0.25
4.c
0.5 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 20 số không âm 
( x20y11;11 số y và 8 số 1) . Ta có: x20y11+11y+8≥20x 
Tương tự: y20z11+11z+8≥20y
 z20x11+11x+8≥20z 
Từ đó: 
A = x20y11+ y20z11+z20x11≥20x+y+z-11x+y+z-24
A = x20y11+ y20z11+z20x11≥3. Dấu  = xảy ra ⟺ x = y = z = 1
Vậy Min A = 3 ⇔ x = y = z = 1
0.25
0.25
Bài 5:
3.5điểm
5.a
1.5
điểm
Chứng minh được tam giác COD vuông tại O
Tam giác COD vuông tại O; đường cao OM 
nên OM2 = CM.DM 
Mà CM = AC; DM = BD ( Tính chất hai TT cắt nhau )
Suy ra : AC.BD = OM2 = R2
0.5
0.25
0.5
0.25
5.b
1.5 điểm
Phát biểu bài toán đảo:
Cho nửa đường (O;R) , đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Qua M vẽ đường thẳng d cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D sao cho AC.BD = R2. 
Chứng minh rằng đường thẳng d là tiếp tuyến của ( O )
Chứng minh bài toán đảo:
Từ AC.BD = R2 ⇒ △ACO ∽ △BOD (c.g.c)
⇒ ACO=BOD ⇒COD=900 và ACAO=OCOD. 
Do đó: △ACO ∽ △OCD (c.g.c)⇒ACO=OCD
Hạ ON ⊥ CD (N∈CD )
Chứng minh được ∆ACO=∆NCO ch.gn ⇒ ON = OA = R
Vậy đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( O )
0.75
0.25
0.25
0.25
5.c
0.5 điểm
Đặt AH = x. Suy ra: BH = 2R – x
MH=AH.BH=x(2R-x) 
2.SAMH =MH.AH=x. x2R-x=x32R-x
=13x3(6R-3x) 
Mà 13x3(6R-3x)≤13(x+x+x+6R-3x4)4=33R24
SAMH≤33R28 . Dấu “ = “ khi và chỉ khi x=3R2
Vậy tam giác AMH có diện tích lớn nhất là 33R28 khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại H ( AH = 3R2 ) với nửa đường tròn (O)
0.25
0.25
Chú ý : Nếu thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với mỗi ý , mỗi câu đó