Đề thi Khu vực giải Toán lớp12 trên máy tính Casio năm 2007

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM 2007
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:13/3/2007
Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)
Bằng số
Bằng chữ
Giám khảo 1:
Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 
Bài 1. Cho các hàm số . Giá trị nào của a thoả mãn hệ thức
Cách giải
Kết quả
Bài 2. Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số .
Cách giải
Kết quả
Bài 3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình 
Cách giải
Kết quả
Bài 4. Cho dãy số với 
Hãy chứng tỏ rằng, với N = 1000, có thể tìm ra cặp hai chỉ số l,m lớn hơn N sao cho
Với N = 1000 000 điều nói trên còn đúng hay không ? 
Với các kết quả tính toán như trên. Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho (khi )
Cách giải
Kết quả
Bài 5. Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-4 ; 3), B(7 ; 5), C(-5 ; 6), D(-3 ; -8) và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của nó.
Cách giải
Kết quả
Bài 6. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314
Cách giải
Kết quả
Bài 7. Giải hệ phương trình: 
Cách giải
Kết quả
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 2 ; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng đi qua 2 điểm M(-1 ; 3 ; 2), N(1 ; 1 ; 3). Biết rằng góc ABC bằng . Hãy tính tọa độ đỉnh B.
Cách giải
Kết quả
Bài 9. Cho hình tròn tâm O bán kính 7,5cm, hình viên phân AXB, hình chữ nhật ABCD với hai cạnh AD = 6,5cm và DC =12cm có vị trí như hình bên.
Số đo radian của góc AOB là bao nhiêu ?
Tìm diện tích hình AYBCDA
Cách giải
Kết quả
Bài 10. Tính tỉ số giữa cạnh của khối đa diện đều 12 mặt (hình ngũ giác đều) và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện đó. 
Cách giải
Kết quả
--------------HẾT-------------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM 2007
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:13/3/2007
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
Bài
Cách giải
Kết quả
Điểm
1
- Có: 
- Giải phương trình tìm a:
 + 
 + 
 + 
0,5
0,5
2,0
1,0
1,0
2
Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị
2,5
2,5
3
Theo cách giải phương trình lượng giác
2,5
2,5
4
Chọn MODE Rad, chọn trong 10 số tiếp theo N có:
m = 1005 , l = 1002
m = 1000007, l = 1000004
Áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy
a) 
b) 
c) Giới hạn không tồn tại
2,0
2,0
1,0
5
Tìm các hệ số của hàm số bậc 3:
Tìm các điểm cực trị, tìm khoảng cách giữa chúng
1,50
1,50
2,0
6
Gọi r và h theo thứ tự là bán kính và chiều cao hộp sữa. Khi ấy thể tích hộp sữa là và diện tích vỏ hộp là . Từ đây, bằng phép thế, ta có và đạt giá trị nhỏ nhất khi , tức là khi 
2,0
3,0
Bài
Cách giải
Kết quả
Điểm
7
- Áp dụng công thức đổi sang cơ số 10 của logarit, ta có: 
 cho hệ phương trình
- Suy ra: y = 2x
1,5
1,5
1,0
1,0
8
 Tìm tọa độ đỉnh B nhờ xác định tỷ số điểm B chia đoạn MN
 Điểm B chia MN theo tỷ số
 Tọa độ của B là : 
 , 
2,0
1,0
2,0
9
2,0
3,0
10
 Trước hết cần chỉ ra rằng tỷ số này bằng
 (Xem thêm lời giải chi tiết kèm theo)
5,0
Lời giải bài số 10:
 Giả sử các mặt hình ngũ giác đều có độ dài cạnh bằng a. Ta thấy mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện được xác định bởi 4 đỉnh bất kỳ không đồng phẳng. Ta có thể tính ra được bán kính R của quả cầu ngoại tiếp đa diện dựa trên 4 điểm là: một đỉnh tùy ý và 3 đỉnh khác nằm trên ba cạnh kề với đỉnh này.
 Rõ ràng, 4 điểm đã nói lập thành một “ hình chóp cân” có đáy là tam giác đều và 3 mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Cạnh của tam giác đều ở đáy lại là đường chéo của mặt ngũ giác đều, cho nên tính được nhờ định lý hàm số cô-sin, cụ thể là
 Bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác đều được tính qua cạnh theo công thức:
 Số đo góc a giữa cạnh của hình chóp cân và mặt phẳng đáy được xác định nhờ công thức:
 Lưu ý rằng đường vuông góc hạ từ đỉnh của “hình chóp cân” xuống mặt đáy của nó sẽ đi qua tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa giác, cho nên bán kính R của mặt cầu này được xác định từ công thức , và do đó 
 Dùng máy tính ta tính được