Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Yết Kiêu (Có đáp án)

 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (2 điểm) Cho P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2. (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3. (2 điểm)
a) Giải phương trình : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
 A = 
Câu 4. (3 điểm) 
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. 
Chứng minh OA. OD = OB. OC;
Đường thẳng qua O và song song với hai đáy của hình thang cắt hai cạnh bên AD, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh M đối xứng với N qua O.
Gọi I là giao điểm của AD và BC, P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của CD. Chứng minh bốn điểm I, P, O, Q thẳng hàng.
Câu 5. (1 điểm) 
Tìm n nguyên để biểu thức P = nhận giá trị nguyên. 
-------------------- HẾT --------------------
 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT
 HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1.
(2đ)
a
(1,5đ)
 a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 
 Nêu ĐKXĐ : a 
 Rút gọn P= 
0,5
0,5
0,25
0,25
b
(0.5đ)
P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 
 Từ đó tìm được a 
0,25
0,25
Câu 2.
(2đ)
a
(1 đ)
 Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9
0,25
0,5
0,25
b
(1 đ)
P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 
 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 
 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36
0,5
0,25
0.25
Câu 3.
(2đ)
a
(1 đ)
 x2+9x+20 =(x+4)(x+5) 
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) 
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) 	 0,25
 ĐKXĐ : 	 0,25
 Phương trình trở thành : 
 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;	
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1 đ)
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 (Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác)
 Từ đó suy ra a= ;	 0,5
 Thay vào ta được A= 
 Từ đó suy ra A hay A
0,5
0,25
0,25
Câu 4.
(3đ)
Vẽ hình đúng (cho phần a)
0.25
a
(0.75đ)
OCD có AB // CD. Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét, ta có:
=> OA. OD = OB. OC
0,5
0,25
b
(1đ)
Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét vào ADC (MO // DC) và BDC (ON // DC), ta có:
 và 
Mặt khác, từ => (t/c của tỉ lệ thức)
Do đó: => MO = ON
=> O là trung điểm của MN
Vậy M đối xứng với N qua O.
0,25
0,25
0,25
0,25
c
(1đ)
Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của IO với AB và CD.
Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét, chứng minh được:
Mà MO = ON => AP’ = P’B => P’ P
Chứng minh tương tự được Q’ Q.
Vậy 4 điểm I, P, O, Q thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5.
(1đ)
Vì n nguyên nên n2 + n + 2 nguyên. Do đó, để P nhận giá trị nguyên (không âm) thì giá trị của biểu thức n2 + n + 2 là một số chính phương.
 Đặt n2 + n + 2 = m2 (m N*). Ta có:
 4n2 + 4n + 8 = 4m2
 (2n + 1)2 + 7 = (2m)2
 (2m)2 – (2n + 1)2 = 7
 (2m + 2n + 1)(2m – 2n – 1) = 7
 Xét 4 trường hợp :
1) 
2) 
3) (loại vì m < 0)
4) (loại vì m < 0)
 Vậy n {1; – 2} là giá trị cần tìm. 
 (Khi đó, P = 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
-------------------- HẾT --------------------