Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Đề 2 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Yết Kiêu (Có đáp án)

 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
Tìm a để A = .
Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3 điểm) 
Giải các phương trình sau:
 (4x – 1)2 = x2 + 2x + 1
 (ẩn x)
Giải và biện luận phương trình ẩn x: a2x + b = a(x + b).
Câu 3. (1 điểm) 
	Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của một trường THCS, bạn An đã đưa ra bài toán về số tuổi của mình như sau: “4 năm trước, tuổi tôi gấp đôi tuổi em gái. Sau 6 năm nữa thì tuổi em gái bằng 75% tuổi tôi. Đố các bạn, hiện nay anh em tôi bao nhiêu tuổi”.
	Em hãy giúp các bạn giải bài toán trên.
Câu 4. (3 điểm) 
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. 
Chứng minh OA. OD = OB. OC;
Đường thẳng qua O và song song với hai đáy của hình thang cắt hai cạnh bên AD, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh M đối xứng với N qua O.
Gọi I là giao điểm của AD và BC, P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của CD. Chứng minh bốn điểm I, P, O, Q thẳng hàng.
Câu 5. (1 điểm) 
Tìm n nguyên để biểu thức P = nhận giá trị nguyên. 
-------------------- HẾT --------------------
 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT
 HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu I
(2đ)
a
(1đ)
ĐKXĐ: a 0; a – 2; a 3
Vậy A = với a 0; a – 2; a 3
0.25
0.5
0.25
b
(0.5đ)
Để thì 
 2a = a + 3 a = 3
Đối chiếu: a = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy không có giá trị nào của a để 
0.25
0.25
c
(0.5đ)
Ta có: 
Với a Z thì A nhận giá trị nguyên 
 Z a + 3 Ư(3) = {1; 3}
Xét bảng sau:
a + 3
1
–1
3
– 3
a
– 2
– 4
0
– 6
KL
Loại
Nhận
Loại
Nhận
Vậy a {– 4; – 6} là giá trị cần tìm.
0.25
0.25
Câu II
(3đ)
1.a
(0.75đ)
 (4x – 1)2 = x2 + 2x + 1
 (4x – 1)2 – (x + 1)2 = 0
 (4x – 1 + x + 1)(4x – 1 – x – 1) = 0
 5x(3x – 2) = 0
 x = 0 hoặc 3x – 2 = 0
 x = 0 hoặc x = 
Vậy PT có tập nghiệm là S = .
0.25
0.25
0.25
1.b
(0.5đ)
 (ĐK: x 0; x –1)
 x2 + 3x = 2x2 + 2x – x2 – x + 2x + 2
 x2 + 3x = x2 + 3x + 2
 0 = 2 (vô nghiệm)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
0.25
0.25
1.c
(0.75đ)
ĐK: a, b, c 0
 (1)
 (2)
+ Nếu thì PT (2) x = a + b + c
+ Nếu thì PT (2) nghiệm đúng với mọi x.
 Vậy với a, b, c 0: 
+ Nếu thì PT (1) có nghiệm duy nhất:
 x = a + b + c
+ Nếu thì PT (1) nghiệm đúng với mọi x.
0.25
0.25
0.25
2
(1đ)
 a2x + b = a(x + b) (1)
 a2x – ax = ab – b
 a(a – 1)x = b(a – 1) (2)
Xét 3 trường hợp:
a) TH 1: a = 0
+ Nếu b = 0 thì PT nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu b 0 thì PT vô nghiệm.
b) TH 2: a = 1
 PT nghiệm đúng với mọi x.
c) TH 3: a 0 và a 1
 PT (2) 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III
(1đ)
Gọi tuổi của em An ở thời điểm 4 năm trước là x (x N*).
Tuổi của An ở thời điểm đó là 2x.
Hiện tại: tuổi em An là x + 4
 tuổi An là 2x + 4
6 năm sau: tuổi em An là x + 10
 tuổi An là 2x + 10
Vì khi đó tuổi em An bằng 75% tuổi An nên ta có PT:
 x + 10 = 0,75(2x + 10)
Giải PT được x = 5 (TM)
Vậy hiện tại, em An 9 tuổi và An 14 tuổi.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu IV
(3đ)
Vẽ hình đúng (cho phần a)
0.25
a
(0.75đ)
OCD có AB // CD. Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét, ta có:
=> OA. OD = OB. OC
0.5
0.25
b
(1đ)
Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét vào ADC (MO // DC) và BDC (ON // DC), ta có:
 và 
Mặt khác, từ => (t/c của tỉ lệ thức)
Do đó: => MO = ON
=> O là trung điểm của MN
Vậy M đối xứng với N qua O.
0.25
0.25
0.25
0.25
c
(1đ)
Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của IO với AB và CD.
Áp dụng hệ quả của ĐL Ta-lét, chứng minh được:
Mà MO = ON => AP’ = P’B => P’ P
Chứng minh tương tự được Q’ Q.
Vậy 4 điểm I, P, O, Q thẳng hàng.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu V
(1đ
Vì n nguyên nên n2 + n + 2 nguyên. Do đó, để P nhận giá trị nguyên (không âm) thì giá trị của biểu thức n2 + n + 2 là một số chính phương.
 Đặt n2 + n + 2 = m2 (m N*). Ta có:
 4n2 + 4n + 8 = 4m2
 (2n + 1)2 + 7 = (2m)2
 (2m)2 – (2n + 1)2 = 7
 (2m + 2n + 1)(2m – 2n – 1) = 7
 Xét 4 trường hợp :
1) 
2) 
3) (loại vì m < 0)
4) (loại vì m < 0)
 Vậy n {1; – 2} là giá trị cần tìm. 
 (Khi đó, P = 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
-------------------- HẾT --------------------