Đề thi khảo sát chất lượng HSG môn Toán lớp 8 năm học 2012-2013 - THCS Quảng Minh

PHÒNG GD & ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH NĂM HỌC: 2012 - 2013 
 Môn : TOÁN 8
 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. 
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5
b. Chứng minh thì là hợp số.
c. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
Câu 2.
a. Giải phương trình: 
b. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính S = a2 + b 2012 + c 2013.
Câu 3. 
	a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18
b. Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. 
Chứng minh: 
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF.
a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông.
b. Chứng minh DF CE và MAD cân.
c .Tính diện tích MDC theo a.
PHÒNG GD & ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH NĂM HỌC: 2012 - 2013 
 Môn : TOÁN 8
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
3 điểm
a) = (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9
 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)
0.5 điểm
0,5 điểm
b) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
 =(n+1)( n2 - n + 2)
Do nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
0.25 điểm
0,25 điểm
0.5 điểm
c) Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 
= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Câu 2
2 điểm
a) Phương trình đã cho tương đương với:
x = 2013
0.5 điểm
0. 5 điểm
0. 5 điểm
b) a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1a; b; c 
a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0
 a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 
b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = a2 + b2 + c2 = 1
0.25 điểm
0.25 điểm
Câu 3 1.5 điểm
a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 
A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1
A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1
Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b) vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; 
- a + b + c > 0; 
a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0;
 z = a + b - c >0
ta có: x + y + z = a + b + c; 
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh
0.25 điểm
0.25 điểm
Câu 4 3.5 điểm
0.5 điểm
a) - Chứng minh: EFGH là hình thoi
 - Chứng minh có 1 góc vuông.
 - Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông .
0. 5 điểm
0. 5 điểm
0.25 điểm
b) ΔBEC = ΔCFD (c.g.c)ÞÐECB = ÐFDC mà ΔCDF vuông tại C
 ÞÐCDF + ÐDFC = 900 ÞÐDFC + ÐECB = 900 
 Þ ΔCMF vuông tại M
Hay CE DF.
Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: 
AG DF GN//CM mà G là trung điểm DC 
nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cân tại A.
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
c) ~ (g.c.g) 
Do đó : ÞSΔCMD = 
Mà : 
Vậy : 
Trong ΔDCF theo Pitago ta có : 
.
Do đó : 
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
	Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.