Đề thi HSG môn Toán lớp 12 trường THPT Hương Thủy

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Trường THPT Hương Thủy
Câu1: 
Giải phương trình: 
Câu2: 
Giải hệ bất phương trình:
Câu3: 
a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì 
Câu4: Cho hàm số . Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu5: Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
Đáp án
Câu1
Nội dung
2.50đ
Câu2
Điều kiện: 
0.50đ
Đặt x = cost với, khi đó:
0.50đ
1.00đ
0.50đ
Giải hệ bất phương trình: 
2.50đ
Từ (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*)
Ta có: ( x2003 +y2005 + z2007 ) – ( x6 + y8 + z10 ) ≥ 0
Þ x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≥ 0
Mặt khác (*) cho x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≤ 0
Do vậy x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) = 0
Nên: x6 ( x1997 – 1 ) = 0 ; y8 ( y1997 – 1 ) = 0 ; z10 ( z1997 – 1) = 0
Û x = 0 hoặc x = 1 ; y = 0 hoặc y = 1 ; z = 0 hoặc z = 1
Ta nhận thấy chỉ có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1) 
 (x = 0 ; y = 1 ; z = 0) 
 (x = 1 ; y = 0 ; z = 0)
thỏa hệ phương trình.
Vậy hệ có ba nghiệm là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.50đ
0.50đ
0.25đ
0.25đ
Câu3
 a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng nếu p, q nghiệm đúng (*) thì 
1.50đ
a. Xét hàm số 
Ta có: 
 Và 
Suy ra: 
Do đó:
b. x = 0 thì (**) đúng
 x ≠ 0 thì (**) tương đương: 
Đặt: 
Bất đẳng thức này đúng vì p, q thỏa (*).
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.50đ
Câu4
Cho hàm số . Định m để giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn
 [– 1 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất.
2.50đ
Parabol y = 2x2 – x + m có hoành độ đỉnh là xo = Î [– 1 ; 1] nên
Maxf(x) = max
 = max= M
Nếu m > 0: tacó 
Nếu m < 0: êm êđủ lớn ta có ê– 3 + m ê≥ ê– 1 + m ê
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Vậy:
Do đó: M ≥ ê– 3 + m ê
 M ≥ 
Þ 2M ≥ ê– 3 + m ê+ ≥ 
Þ M ≥ 
Suy ra Min(M) = .Dấu “ = ’’ xãy ra khi 
0.50đ
0.25đ
0.25đ
0.50đ
0.25đ
Câu5
 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
1.00đ
0.25đ
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung điểm của BC & SA.
Ta có: SA (BCD). Do đó:
 mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 – 
 Suy ra: 
Vì vậy:
 đạt tại x = 
0.50đ
0.25đ
0.25đ