Đề thi HSG môn Toán lớp 12 Bảng A-B tỉnh Thanh Hóa năm học 2005-2006

....;n}.
 b/ P(x) có n nghiệm thực phân biệt .
 ------------ Hết ------------
	Sở Giáo dục và Đào tạo	Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
	Thừa Thiên Huế	Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008
	Đề thi chính thức	
	Môn : TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1: (3 điểm)
	 Giải phương trình : .
 Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng: 
Giải bất phương trình: .
 Bài 3: (4 điểm)
 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:
 . 
 Bài 4: (4,5 điểm)
 Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi :
 tgB + tgC = 2tgA .
 Bài 5: (4,5 điểm)
Cho a, b là các số thực không âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng .
Chứng minh rằng : 
Xét các số thực không âm thay đổi thỏa điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:
 .
Hết 
ĐỀ THI HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 
Bảng A vòng I
Bài 1 (2.5 đ). Cho hàm số 
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
2. Xác định để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng với nhau qua 
Bài 2 (2.0 đ)
1. Tìm để với mọi số thực ta đều có 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (1.5 đ). Cho tam giác nội tiếp . là đường cao của . Gọi $D,E$ là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh $AB,BC$. Chứng minh rằng:
1. 
2. thẳng hàng.
Bài 4. Cho tứ diện OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi các mặt $OBC,OCA,OAB$ với mặt $ABC$
1. Chứng minh rằng 
2. Giả sử . Chứng minh rằng 
Bài 5 (1.0 đ). Chứng minh rằng là số tự nhiên chia hết cho 13
Bài 6 (1.0 đ). Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 
	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2008-2009
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
	Môn: TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút
 Bài 1: (4 điểm)
Tìm các cặp số thực sao cho: 
 Bài 2: (6 điểm)
Cho khối lăng trụ đứng (L) có cạnh bên bằng . Đáy của (L) là lục giác lồi ABCDEF có tất cả các góc đều bằng nhau và .
Tính theo thể tích của khối lăng trụ (L).
Chứng tỏ rằng có thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đó có một khối lăng trụ đều đáy tam giác và ba khối hộp.
 Bài 3: (6 điểm)
Gọi (C) là đồ thị hàm số được dựng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Chứng tỏ rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ O.
Hỏi có bao nhiêu hình vuông có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) ?
 Bài 4: (4 điểm)
Cho tập hợp S có phần tử. Chứng minh rằng có đúng cặp có thứ tự với và là các tập con của S thỏa điều kiện: .
Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tập hợp , trong đó và là hai tập hợp khác nhau sao cho ?
Hết 
	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	 KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2008-2009
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
	Môn : TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút
	Đề thi gồm 02 trang
 Bài 1: (3 điểm)
	Cho phương trình 
Với , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng .
Với giá trị nào của thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng .
 Bài 2: (3 điểm)
Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc .
Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B.
Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó.
 Bài 3: (3 điểm)
Giải hệ phương trình 
Giải bất phương trình: 
 Bài 4: (2 điểm)
Cho dãy số với mọi số nguyên dương .
Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của lập thành một cấp số cộng.
Hãy biến đổi mỗi số hạng của thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng kế tiếp của nó, từ đó rút gọn và tính 
 Bài 5: (3 điểm)
Tính tổ	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	 KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2008-2009
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
	Môn : TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút
	Đề thi gồm 02 trang
 Bài 1: (3 điểm)
	Cho phương trình 
Với , tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng .
Với giá trị nào của thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng .
 Bài 2: (3 điểm)
Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc .
Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B.
Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó.
 Bài 3: (3 điểm)
Giải hệ phương trình 
Giải bất phương trình: 
 Bài 4: (2 điểm)
Cho dãy số với mọi số nguyên dương .
Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của lập thành một cấp số cộng.
Hãy biến đổi mỗi số hạng của thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng kế tiếp của nó, từ đó rút gọn và tính 
 Bài 5: (3 điểm)
Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4.
Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là 
Bài 6: (3 điểm)
Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đính S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h. 
Bài 7: (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng . 
Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp.
Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
 Hết 
ng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4.
Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là 
Bài 6: (3 điểm)
Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đính S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h. 
Bài 7: (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng . 
Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp.
Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
 Hết 
	SỎ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2009-2010
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
	Môn : TOÁN 	Thời gian làm bài : 180 phút	
 Bài 1: (4 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	 	 trên đoạn .
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
 Bài 2: (4 điểm)
Cho tam giác ABC và đường thẳng (d). Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Với mỗi điểm P trên đường thẳng (d), ta dựng điểm Q sao cho: . Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi.
Cho hai đường tròn đồng tâm O, khác bán kính và đường tròn (O'). Dựng tam giác đều có một đỉnh ở trên (O') và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai đường tròn đồng tâm O. 
 Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình 
Tìm tập xác định của hàm số 
 Bài 4: (4 điểm)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau ?
Tính tổng: 
 Bài 5: (4 điểm)
Khi cắt mặt cầu (O, R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Cho , hãy tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu (O, R) để khối trụ đó có thể tích lớn nhất.
 Hết 
SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	Môn : Toán 	Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1 : (4 điểm)
Cho hàm số : y = 36cosx + 9cos2x + 4cos3x .
a/ Chứng minh rằng : y + 31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x .
b/ Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho : y ≤ k đúng với mọi số thực x . 
Bài 2 : (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD . Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông ABCD, xét điểm M1 đối xứng của M qua đường thẳng AB, điểm M2 đối xứng của M1 qua đường thẳng BD, điểm M3 đối xứng của M2 qua đường thẳng AC và điểm M’ đối xứng của M3 qua đường thẳng CD.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM’ bằng độ dài cạnh hình vuông .
Bài 3 : (4 điểm)
Cho dãy số thực (un) xác định bởi : , với n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn . Tìm giá trị giới hạn này .
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình hộp IJKL.I’J’K’L’ có tất cả các cạnh bằng nhau và 
 = = = .
Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL sao cho LQ = IP.
a/ Chứng minh rằng : + + = .
b/ Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O của hình hộp IJKL.I’J’K’L’ đến mặt phẳng (I’PQ) không phụ thuộc vào việc chọn điểm P. 
Bài 5 : (4 điểm)
Xét hàm số f xác định trên tập số thực thỏa mãn phương trình : 
 (*)
 với mọi số thực x, y . 
a/ Chứng minh tồn tại ít nhất ba hàm số liên tục trên tập số thực thỏa mãn (*).
b/ Tìm tất cả các hàm số liên tục trên tập số thực thỏa mãn (*). 
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – THPT 
 THANH HOÁ Năm học 2005 - 2006 
 Môn thi : TOÁN HỌC - BẢNG A
 Đề chính thức (Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4 điểm ) 
 Cho hàm số : ( C ) 
 1/ Khảo sát hàm số .
 2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại diểm
 đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 2: (2 điểm )
 Biện luận theo m số nghiệm dươn