Đề thi học sinh giỏi Toán khối 11

ĐỀ THI HSG KHỐI 11
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (3 đ) 
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
.
Giải hệ phương trình : 
Câu 2: (3 đ) 
Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. 
Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. 
Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Câu 3: (2đ)
Giải bất phương trình : 
Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn :
Câu 4 : (2 đ).
Giải phương trình : 
cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
Gọi a, b, g là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp DABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB. 
Giả sử: sina.sinb.sing = . Chứng minh DABC là tam giác đều.
(Hết)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.
Câu 1 : (3 đ).
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Đặt . Khi đó Pt 
t
y
y ≥ -5
y = -5
-8 ≤ y ≤ -5
y = -8
y = -9
y ≤ -9
O
-8
-9
Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ Oty. Dựa vào đồ thi ta có:
m > - 5 ∨ m < - 9 thì không
có nghiệm t nên không có nghiệm x.
m = - 5 có 1 nghiệm x.
- 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1 
nghiệm t nên có 2 nghiệm x.
 - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên 
có 4 nghiệm x.
Giải hệ phương trình: 
Cách 1 : 
Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. Þ Giả sử 0 < x £ y Þ
Câu 2 : (3 đ). 
Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. 
Ta có A’M //= NC Þ A’MCN là hình bình hành Þ A’C & MN cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường.
 Mặt khác A’B’CD là hình bình hành Þ A’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Þ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành
Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
 Ta có AC ⊥ BD Þ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông Û 
MN ⊥ B’D & MN = B’D = . 
Khi đó MN ⊥ (BDD’B’) Þ AC’ ⊥ (BDD’B’) = (a) . Vậy cứ mỗi DBDB’ được xác định trên mf (a) cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’ 
Þ .
D’
A’
B’
C’
C
D
A
B
M
N
I
Câu 3: (2đ)
Giải bất phương trình : D = R*
Nếu x + 1 > 0 Û x > -1 Þ Bpt Û 2 x2 – 3x + 1 < 0 Û 1/ 2 < x < 1. Thoả mãn 
Nếu x + 1 < 0 Û x < -1 Þ Bpt Û 2 x2 – x + 3 < 0 Û Bpt vô nghiệm.
Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1).
Ta có : x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ³ 2, "x và y2 + 8 > 0, "y. Þ
Þ y2 + 8 £ 7 – y2 – y Þ 2y2 – 3y + 1 £ 0 Þ 1/2 £ y £ 1. Vì y Î Z Þ y = 1.
Với y = 1 Þ BPt Û 
Kiểm tra lại đúng Þ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1.
Câu 4 : (2 đ).
Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
Nếu x = k2p Þ pt Û 5 = - 1/2 Vậy x = k2p không là nghiệm của pt.
Nếu x ¹ k2p nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt Û 
Vì x ¹ k2p Þ nghiệm của pt là: x = Với k 11.
Ta có: 
sina.sinb.sing = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DABC là tam giác đều.