Đề thi học sinh giỏi toán 7

đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB.
(2đ) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
* BH = AK
* MBH = MAK
* MHK là tam giác vuông cân
B/ Phần đề riêng 
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
 + + = 0
 	b. (1đ) Tìm x, y, z biết:	x + y = x : y = 3(x – y)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
(1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A = 
ĐỀ 1.6
Bài 1: (3 điểm): Tớnh
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tỡm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tỡm biết: 
Đề 1.7
 Bài 1. Tính 
Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: = 3
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. 
đề 1.8
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phộp tớnh: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tớnh và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
đáp án 1.1
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ)	- Nhân 2 vế tổng B với 5
	- Lấy 5B - B rút gọn và tính được B = 
b. (0,75đ)	- Khai căn rồi quy động 2 ngoặc
	- Thực hiện phép chia được kết quả bằng -1
Câu 2 (2đ)
(1đ) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (2) được tỉ số (4)
Từ tỉ số (3) và tỉ số (4) ta có 6x + 12 x = 2 tù đó tính được y = 3
b. (1đ) - Chuyển các số hạng ở vế phải sang vế trái 
	- Đặt thừa số chung đưa về 1 tích bằng 0
	- Tính được x = -1
Câu 3 (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75đ)
	y = - = -x với x 0
	x với x < 0
Câu 4 (3đ)
a. (1,5đ)	- Gọi tuổi anh hiện nay là x (x > 0), tuổi em hiện nay là y (y>0) 
	 tuổi anh cách đây 5 năm là x – 5
	 Tuổi của em sau 8 năm nữa là y + 8
	Theo bài có TLT: và x - y = 8
	Từ đó tính được: 	x = 20; y = 12
	- Vậy tuổi anh hiện nay là 20 tuổi em là 12
b. (1,5đ)
	- APE = APH (CH - CG)
	- AQH = AQF (CH - CG)
	- góc EAF = 1800 E, A, F thẳng hàng
II. Phần đề riêng
Câu 5A (2đ)
a. (1,5đ)	- Biến đổi S = + (
	- Đưa về dạng 3S – S = 2S
	- Biến đổi ta được S = (n )
b. (0,5đ)
	- Nghiệm lại các giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức
	- Giá trị nào làm cho đa thức bằng 0 thì giá trị đó là nghiệm
Câu 5 B (2đ)
a. (1,5đ)	A = 5 + 
	A nguyên nguyên x – 2 ư (8)
	Lập bảng 
x -2
-8
-4
-2
-1
1
2
4
8
x
-6
-2
0
1
3
4
6
10
Vì x Z x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} thì A Z
b. (0,5đ)	76 + 75 – 74 	= 74 (72 + 7 – 1)
	= 74 . 55 55
đáp án 1.2
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (1đ)- Đưa dấu “ – “ ra ngoài dấu ngoặc
	- Tách một phân số thành hiệu 2 phân số rồi rút gọn được A = 
b. (0,5đ) 	Biến đổi rồi rút gọn ta được x = -
Câu 2 (1,5đ)
a. (1đ)- Biến đổi các mẫu dưới dạng lập phương đưa về dạng 
	- áp dụng tính chất dãy TSBN rồi tìm x, y, z
b. (0,5đ)	Kết quả x50 = 26
Câu 3 (2đ)
a. (1đ)	
 	Gọi đường thẳng (d) đi qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a0) từ đó tính a để xác định hàm số OM là đồ thị hàm số.
	- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không?
	 kết luận: O, M, N thẳng hàng
b. (1đ)	- Thu gọn Q(x) = bậc Q(x) là 3	(0,25đ)
	- Q(-) = = 	(0,25đ)
	- Q(x) = là một số chẵn Q(x) Z 	(0,5đ)
Câu 4(3đ)
a. (1đ) Gọi số người tổ A, tổ B, tổ C lần lượt là x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21
	x, y, z TLT với Từ đó tính được x = 30; y = 28; z = 20
b. (2đ)
 * 	 - BNA = PNA (c.c.c)
 góc NPA = 900 (1)
	 - DAM = PAM (c.g.c)
	 góc APM = 900 (2)
	Từ (1) và (2) góc NPM = 1800 Kết luận
 * Góc NAM = 450 ; góc ANP = 650; góc AMN = 700
II. phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222
	 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111)
	Vì 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110)
	 = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110)13 KL
b. (1đ) 	Ta có 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + 1. vì 109345 – 4345 7
	4345 – 1 7 109345 chia hết cho 7 dư 1
Câu 5 B (2đ) Đáp án 2
a. (1đ)
 VT: - Đưa tổng các luỹ thừa bằng nhau dưới dạng tích 
và biến đổi được 212 n = 12
b. (1đ)
	- Nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ 3 rồi đặt TSC. Số hạng thứ 2 với số hàng thứ 4 rồi đặt TSC
	- Đưa về một tổng có các số hạng cho 2 và 3 mà UCLN(2;3) = 1
	 tổng 6
đáp án 1.3
I. Phần đề chung
Câu 1 (2,5đ)
 a. (2đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng rồi đặt a = ; b = ; c = 
	- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính được M = 
 b. (0,5đ)	(-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = 1 + 1 +1 + … + 1 = 50
Câu 2 (1đ)
(0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức
 b. (0,5đ) Từ 
Câu 3 (2,5đ)
(1,5đ) 
* Vẽ đồ thị hàm số y = -x
* Từ 2 hàm số trên ta được phương trình hoành độ -x = x -4
- Thay điểm M(3; -1) vào phương trình hoành độ ta được -. 3 = 3 – 4 = -1
 M(3; -1) là giao của 2 đồ thị hàm số trên.
 * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy
 vuông tại P
 (đvđd)
b. (1đ)
- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)
	 	T1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
Câu 4 (2đ)
a. (0,5đ) 	Có góc B + góc C = 900
 góc OBC + góc BCO = (BD, CE là phân giác)
	 góc BOC = 1800 – 450 = 1350
(1đ)
 ABD = MBD (c.g.c)
 góc A = góc M = 900 DM BC (1)
	ECN = ECA (c.g.c)
góc A = góc N = 900 EN BC (2)
	Từ (1) và (2) EN // DM
O
I
E
A
D
C
M
N
B
c. (0,5đ)
	IBA = IBM (c.g.c)
	 IA = IM thay IAM cân tại I
II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	P(x) = (x+1)2 + x2 + với x
	vậy P(x) không có nghiệm
b. (1đ)	2454 . 5424 . 210 = (23.3)54 . (2.33)24 . 210 = 2196 . 3126
	7263 = (23 . 32)63 = 2189 . 3126
	Từ đó suy ra 2454 . 5424 . 210 7263
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)	Cho 5x2 + 10x = 0
	 5x(x + 10) = 0 
	Nghiệm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10
b. (1đ)	5(x-2)(x+3) = 1 = 50 (x-2)(x+3) = 0 
	Vậy x = 2 hoặc x = -3
đáp án đề 1.4 
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng
	- Đặt 	;	
	- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào được A = 119
b. (0,75đ) 	Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, …ana1
	số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng 
vì 2002 2 n = 2002
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) Tìm x biết	
	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
	- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2) 
	6x = 2 . 24 = 48 x = 8
b. (1đ) 	- Đưa về dạng 
	- áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z
Câu 3 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
	y0 = ax0	 = a
	Mà A(2;1) 	 a = 
b. (0,75đ)	 - OBC vuông tại C
	S = = 
	Với x0 = 5 = 6,25 (đvdt)
Câu 4 (3đ) 
a. (1đ)	- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)	t1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
b. (2đ)
- MAD = MCB (c.g.c)
góc D = góc B AD // BC (1)
- NAE = NBC (c.g.c)
góc E = góc C AE // BC (2)
Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh trên A là trung điểm của ED
C
E
D
A
B
N
M
II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	So sánh và 
	ta có 2 < 	 2 + 6 < + 6 = + 5 + 1
	 8 < ( + 1
b. (1đ)	- Thay giá trị của x vào 2 đa thức
	- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính được m = -
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)	Ta có 2
	 3
	 3200 > 2300
b. (1đ)	- Nhân hai vế của tổng với A với 2
	- Lấy 2A – A rút gọn được A = 
Đáp án 1.5
I. phần đề chung
Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ)
A = 1
áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính được
a1 = a2 = … = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)
 a.	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) ð 12 + 4x = 2.5x ð x = 2
- Từ đó tính được y = -
 b. 	- Vì và 
	x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)
Câu 3 (1,5đ)
(1đ) 	- Biểu thức xác định f(x) = 
- Khi f(x) = 2 = 2 từ đó tìm x
 b. (0,5đ)	- Vẽ đồ thị hàm số y = 
x
0
5
 O (0;0)
y
0
2
 A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = 
- M đồ thị y = -2 = x = -5
Câu 4 (3điểm)
 a. (1đ) 	18 phút = 
	- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2.
	- Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó:
	V1t1 = v2t2 
	 (giờ) thời gian dự định đi 
cả quãng đường AB là 3 giờ
- Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km)
 b. (2đ)
 - HAB = KCA (CH – GN)
	 BH = AK
 - MHB = MKA (c.g.c)
	MHK cân vì M