Đề thi học sinh giỏi Toán 11 - Nam Định 2000

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 11 - NAM ĐỊNH 2000
Câu I (5 điểm).
Cho hàm số 
Giải các phương trình sau: 
1) 
2) 
Câu II (5 điểm)
Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn:
Tìm các góc của tam giác đó.
Câu III (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = 1. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H.
1) Chứng minh DEFH là hình chữ nhật.
2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất.
Câu IV (3 điểm).
a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
 ĐỀ THI HSG 11 - NAM ĐỊNH
Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau: 
1) Giải phương trình khi 
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm 
Câu II (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a.
1) Nếu biết 
Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo a.
2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Câu III (7 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính để O cách đều tất cả các mặt của SABC.
2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a.
Câu IV (3 điểm).
Cho phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Giả sử x1 < x2 < x3, chứng minh rằng:
và